Plano de ensino – Análise Microlocal – QS4 – 3q’21

Este é o plano de ensino para a disciplina de pós-graduação MAT-246 – Tópicos em Física-Matemática I: Distribuições, Análise Microlocal e Operadores Pseudodiferenciais conforme ministrada no terceiro quadrimestre letivo de 2021 = quarto Quadrimestre Suplementar (QS) – horário presencial: 3as. feiras e 5as. feiras, 14h00-16h00.

Novidades

Notícias recentes sobre o funcionamento do curso serão postadas aqui.

Aulas

Os links para o material de cada aula (vídeo e blog), acompanhados de uma breve descrição desta, serão listados aqui.

Aula 24 – 13.12.21 (vídeo) – Uma breve introdução aos operadores pseudodiferenciais: o símbolo e o símbolo principal de um operador diferencial parcial linear (ODPL) com coeficientes suaves, pseudolocalidade de ODPL’s. Soluções fundamentais e parametrizes de ODPL’s com coeficientes constantes – construção de uma parametriz no caso elíptico. Consequências da existência de uma parametriz. Parametrizes de ODPL’s elípticos com coeficientes variáveis – como construir o símbolo? Um vislumbre da teoria dos operadores pseudodiferenciais.
Aula 23 – 9.12.21 (vídeo) – Distribuições com suporte compacto e sua transformada de Fourier: distribuições com suporte compacto num aberto como funcionais lineares contínuos no espaço de Fréchet de funções suaves nesse aberto – extensão contínua de funções teste a funções suaves, caracterização de continuidade, distribuições com suporte compacto como distribuições temperadas. Caracterização da transformada de Fourier de distribuições com suporte compacto: interlúdio – produto tensorial de distribuições, o caso de funções teste, o teorema de Paley-Wiener-Schwartz (enunciado). Análise espectral de singularidades: direções singulares de uma distribuição com suporte compacto e sua localização, o conjunto frente de onda de uma distribuição.
Aula 22 – 7.12.21 (vídeo) – Distribuições temperadas e análise de Fourier (iii): sumário de resultados – (a) o espaço de Fréchet das funções suaves temperadas e seu dual topológico, o espaço das distribuições temperadas; (b) a transformada de Fourier de uma função suave temperada e suas propriedades básicas – ação de derivadas parciais e multiplicação por polinômios, fórmula de inversão de Fourier. Propriedades adicionais da transformada de Fourier: (c) simetria e extensão da transformada de Fourier para distribuições temperadas; (d) fórmula de Parseval (enunciado e prova), unitariedade da transformada de Fourier normalizada em $L^2$ ; (e) convolução de funções suaves temperadas – relação com o produto pontual e ação da transformada de Fourier sobre ambas operações. Extensão das propriedades básicas da transformada de Fourier para distribuições temperadas, recuperação da análise de Fourier clássica em espaços $L^p$ .
Aula 21 – 2.12.21 (vídeo) – Distribuições temperadas e análise de Fourier (ii): motivação – funções exponenciais e ação de derivadas parciais sobre estas. O caso de expoentes imaginários, periodicidade. A transformada de Fourier como uma “superposição contínua” de exponenciais. Funções suaves temperadas em $\mathbb{R}^n$ como um contexto natural para análise de Fourier. Recapitulação: funções suaves temperadas em $\mathbb{R}^n$ (definição e seminormas, inclusão contínua e densidade sequencial do espaço de funções teste em $\mathbb{R}^n$ ), a transformada de Fourier de uma função suave temperada (definição formal, ação de derivadas parciais e multiplicação por polinômios). A fórmula de inversão de Fourier: enunciado e prova. Pontos fixos da transformada de Fourier normalizada.
Aula 20 – 30.11.21 (vídeo) – Distribuições temperadas e análise de Fourier: definição clássica da transformada de Fourier de uma função integrável, propriedades básicas. A transformada de Fourier de uma função teste em $\mathbb{R}^n$ (i). Funções suaves temperadas em $\mathbb{R}^n$ – definição e seminormas, inclusão contínua e densidade sequencial do espaço de funções teste em $\mathbb{R}^n$ . Distribuições temperadas. Exemplos – (a) funções localmente integráveis de crescimento polinomial como distribuições temperadas; (b) funções gaussianas como funções suaves temperadas sem suporte compacto. A transformada de Fourier de uma função suave temperada – definição e propriedades (multiplicação por polinômios e derivadas parciais). Fórmula de inversão de Fourier e identidade de Parseval (enunciado).
Aula 19 – 25.11.21 (vídeo) – Em breve.
Aula 18 – 23.11.21 (vídeo) – Distribuições em variedades (ii): recapitulação – atlas suaves $n$ -dimensionais, cartas locais e cartas locais compatíveis com um atlas suave $n$ -dimensional, topologia induzida por um atlas suave $n$ -dimensional, o atlas maximal ( = estrutura suave) induzido por um atlas suave $n$ -dimensional, definição de variedades suaves $n$ -dimensionais e aplicações suaves entre variedades suaves de dimensão finita. Vetores tangentes: definição. Interlúdio: funções solavanco em variedades e a propriedade de Hausdorff.
Aula 17 – 18.11.21 (vídeo) – Distribuições em variedades. Preliminares: variedades suaves $n$ -dimensionais – atlas suaves $n$ -dimensionais, cartas locais e cartas locais compatíveis com um atlas suave $n$ -dimensional. A topologia induzida por um atlas suave $n$ -dimensional. O atlas maximal ( = estrutura suave) induzido por um atlas suave $n$ -dimensional, compatibilidade entre atlas suaves $n$ -dimensionais. Definição de variedades suaves $n$ -dimensionais e aplicações suaves entre variedades suaves de dimensão finita. A propriedade de Hausdorff e paracompacidade da topologia de uma variedade: consequências.
Aula 16 – 16.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): composição (“pullback”) com difeomorfismos. Preliminares: difeomorfismos entre abertos de $\mathbb{R}^n$ , fórmula de mudança de variáveis para integrais $n$ -dimensionais, o determinante jacobiano. “Pushforward” de funções teste. “Pullback” e “pullback” torcido de distribuições, relação com o “pullback” de funções contínuas. O caso de distribuições com suporte compacto: extensão contínua a funções suaves, caracterização do espaço de distribuições com suporte compacto como o dual topológico do espaço de funções suaves. “Pushforward” e “pushforward” torcido de distribuições com suporte compacto, relação com o “pushforward” de funções teste.
Aula 15 – 11.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): convolução de distribuições com funções teste. Recapitulação: a convolução de uma função localmente integrável com uma função teste, a convolução de uma distribuição com uma função teste. Sequências delta e regularização de distribuições: interlúdio – caracterização multiplicativa do suporte e do suporte singular de uma distribuição. Densidade de funções teste no espaço de distribuições num aberto de $\mathbb{R}^n$ .
Aula 14 – 9.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): convolução de distribuições com funções teste. Preliminares: a convolução de uma função localmente integrável com uma função teste – definição e propriedades (comutatividade, ação de derivadas parciais). Propriedade de suporte: preliminares (soma de um compacto com um fechado de $\mathbb{R}^n$ , enunciado e prova, continuidade da convolução com funções teste. O caso de distribuições: definição e propriedades (ação de derivadas parciais, associatividade, relação com teste distribucional, transposição). Regularização de distribuições num aberto de $\mathbb{R}^n$ : enunciado.
Aula 13 – 4.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): renormalização de distribuições como extensão de distribuições definidas num subespaço vetorial próprio de funções teste – existência (Hahn-Banach) e ambiguidade na escolha de renormalização pela adição de um elemento do aniquilador do subespaço vetorial. O caso de subespaços topologicamente complementados – correspondência entre pares topologicamente complementados de subespaços vetoriais e projeções lineares contínuas, renormalização como transposição de uma projeção linear contínua. Os subcasos de (a) subespaços vetoriais de dimensão finita e (b) de codimensão finita. Classificação completa de renormalizações de distribuições definidas em subespaços vetoriais de codimensão finita, exemplos.
Aula 12 – 26.10.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): recapitulação – caracterização de continuidade de aplicações lineares entre espaços de funções teste. Transpostas ( = adjuntas formais) de aplicações lineares contínuas entre espaços de funções teste, continuidade nas topologias fraca e forte em espaços de distribuições. Aplicações lineares contínuas e propriamente suportadas entre espaços de funções teste e sua extensão a espaços de distribuições. Exemplos: (1) extensão por zero (transposta: restrição); (2) multiplicação por funções suaves; (3) derivadas parciais; (2) + (3) => operadores diferenciais parciais lineares com coeficientes suaves e seus adjuntos formais. Renormalização de distribuições.
Aula 11 – 21.10.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições: caracterização da continuidade de aplicações lineares entre espaços de funções teste em termos de seminormas + controle de suportes e em termos sequenciais.
Aula 10 – 14.10.21 (vídeo) – Suporte e suporte singular de distribuições: recapitulação – extensão por zero de funções teste e restrição de distribuições a subconjuntos abertos do domínio. Definição de suporte e de suporte singular de uma distribuição em termos de restrições, relação com a definição no caso de funções. Caracterização alternativa do suporte e do suporte singular de uma função em termos de multiplicação por funções teste. Operações sobre distribuições: formulação abstrata – adjuntas formais ( = transpostas) de aplicações lineares contínuas entre espaços de funções teste. Caracterização da continuidade de aplicações lineares entre espaços de funções teste (a continuar).
Aula 9 – 14.10.21 (vídeo) – Localização de distribuições (continuação): paracompacidade de abertos de $\mathbb{R}^n$ , existência de partições de unidade. Prova da propriedade de feixe ( = determinação de distribuições por suas restrições a membros de um recobrimento aberto) de espaços de distribuições em abertos de $\mathbb{R}^n$ .
Aula 8 – 7.10.21 (vídeo) – Localização de distribuições: extensões de funções teste e restrições de distribuições, continuidade da restrição (exemplo de operação sobre distribuições definida por dualidade = transposição). Colagem de distribuições definidas nos membros de um recobrimento aberto (propriedade de feixe): enunciado. Interlúdio: partições de unidade.
Aula 7 – 5.10.21 (vídeo) – Distribuições: recapitulação – definição e caracterização sequencial de continuidade. Exemplos de distribuições (funções localmente integráveis, delta de Dirac e suas derivadas, derivadas fracas de funções contínuas, função degrau de Heaviside). Convergência de distribuições: digressão – redes num espaço topológico, redes convergentes, redes limitadas e redes de Cauchy num espaço localmente convexo. A topologia fraca e a topologia forte no espaço de distribuições – (in)completeza, completeza sequencial e o princípio de limitação uniforme (propriedade de Banach-Steinhaus).
Aula 6 – 30.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: a topologia do espaço de funções teste (continuação). Recapitulando: seminormas de supremo no espaço de Fréchet das funções suaves num aberto de $\mathbb{R}^n$ e nos subespaços de funções suaves suportadas num subconjunto compacto, existência de exaustões de abertos de $\mathbb{R}^n$ . O espaço das funções teste num aberto de $\mathbb{R}^n$ como limite indutivo de subespaços de funções teste suportadas em subconjuntos compactos: existência da topologia indutiva, caracterização de limitados, convergência de sequências e continuidade de aplicações lineares com respeito à topologia indutiva. Equivalência de continuidade e funcionais lineares no espaço de funções teste num aberto de $\mathbb{R}^n$ com continuidade sequencial no zero.
Aula 5 – 28.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: A topologia do espaço de funções teste (continuação). Seminormas de supremo no espaço de Fréchet das funções suaves num aberto de $\mathbb{R}^n$ e nos subespaços de funções suaves suportadas num subconjunto compacto. Existência de exaustões de abertos por uma sequência crescente de subconjuntos compactos. O espaço das funções teste num aberto de $\mathbb{R}^n$ como limite indutivo de subespaços de funções teste suportadas em subconjuntos compactos, continuidade de aplicações lineares com respeito a uma topologia localmente convexa indutiva no domínio. Distribuições num aberto de $\mathbb{R}^n$ : definição. Identificação de funções contínuas e localmente integráveis com distribuições.
Aula 4 – 23.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: definição de funções teste num aberto, existência de unções teste não-triviais, suporte de funções (recapitulação). A topologia do espaço de funções teste num aberto de $\mathbb{R}^n$ – Interlúdio: topologias vetoriais e topologias localmente convexas num espaço vetorial, seminormas e vizinhanças absolutamente convexas de zero. O espaço das funções teste num aberto de $\mathbb{R}^n$ como limite indutivo de subespaços com suporte em subconjuntos compactos, seminormas no subespaço de funções teste suportadas num compacto dado.
Aula 3 – 21.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: definição de funções teste num aberto. Existência de funções teste não-triviais. Suporte de funções: preservação por soma e produto. O espaço de funções teste num aberto de $\mathbb{R}^n$ : dimensão infinita, a questão da topologia. Interlúdio: topologias vetoriais e topologias localmente convexas num espaço vetorial, seminormas.
Aula 2 – 16.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: motivação. Exemplos da necessidade do conceito de distribuição: (1) extensão da ação de operadores diferenciais parciais lineares (ODPL’s) a funções não necessariamente diferenciáveis por meio de integração formal por partes (ação fraca), o adjunto formal de um ODPL, soluções fracas de EDP’s lineares (Sobolev); (2) como a ação fraca de um ODPL define um funcional linear num espaço vetorial de funções teste mas não pode definir uma função – exemplos: (a) função degrau de Heaviside ( = função de Green da derivada na reta real); (b) potencial de Newton ( = função de Green do laplaciano). Funções teste: definição.
Aula 1 – 14.9.21 (vídeo) – Informações sobre o funcionamento do curso. Motivação: o que é análise microlocal e qual é o seu propósito? Propagação de singularidades e funções de Green para equações diferenciais parciais lineares com coeficientes constantes (discussão informal) – análise de Fourier. O que muda no caso de coeficientes variáveis? Análise microlocal como uma extensão da análise de Fourier. Distribuições e motivação para seu uso – exemplo: comportamento singular do potencial de Newton (função de Green para o laplaciano em $\mathbb{R}^3$ ).

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

S. Alinhac, P. Gérard, Pseudodifferential Operators and the Nash-Moser Theorem. American Mathematical Society, 2008.
J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators. Birkhäuser, 1996.
A. Grigis, J. Sjöstrand, Microlocal Analysis for Differential Operators. Cambridge University Press, 1995.
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis. Springer-Verlag, 1990.
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer-Verlag, 1994.
Notas de aula serão disponibilizadas aqui à medida que o conteúdo for apresentado.

Recomendações e material didático suplementar

Faremos uso substancial de tópicos apresentados na disciplina de pós-graduação MAT-221 – Equações Diferenciais Parciais. Ingredientes da disciplina de pós-graduação MAT-266 – Variedades Diferenciáveis também são empregados, mas seu conhecimento prévio não é absolutamente necessário.

Estrutura das atividades da disciplina

As aulas serão transmitidas sincronamente a partir de 14.9 às 3as. e 5as. feiras das 14h às 16h. As transmissões das aulas serão gravadas e disponibilizadas posteriormente de maneira assíncrona. O link para a sala de reunião (Google Meet) onde cada aula será transmitida será divulgado por email e pelo Moodle com no máximo 30 minutos de antecedência por razões de segurança. A entrada nas salas de reunião só será permitida mediante o uso da conta Google vinculada ao email institucional da UFABC, para fins de segurança e controle da participação dos alunos. Para realizar o vinculamento, recomendo seguir o tutorial do NTI https://www.youtube.com/watch?v=Rf4kIbb4_sk para o procedimento.

Além dos vídeos e das notas de aula, a disponibilização das aulas em formato de blog está em estudo.

O objetivo das aulas síncronas é permitir (dentro das limitações da internet de cada aluno e do docente) uma maior participação dos alunos. Os links para os vídeos (e, se for o caso, dos posts no blog) correspondentes a cada aula serão disponibilizados na lista de aulas.

Avaliação

A avaliação será baseada em seminários a serem apresentados por cada aluno no final do quadrimestre – para mais detalhes, ver o Roteiro da disciplina abaixo. O conceito final é dado com base no seminário de avaliação e na participação de cada aluno nas aulas e no fórum de dúvidas.

Dúvidas

Será mantido um fórum de dúvidas permanente e aberto para discussões e dúvidas sobre o conteúdo da disciplina. Os alunos são livres (e encorajados!) para fazer perguntas e também responder às dúvidas dos colegas. Em virtude do número reduzido de participantes, plantões de dúvidas por videoconferência no Google Meet poderão ser agendados pontualmente se necessário.

Roteiro

A disciplina terá um formato de tópicos, de modo que a ementa abaixo é apenas aproximada – ajustes serão feitos conforme necessário ao longo do curso. Os chamados tópicos especiais são de discussão aberta, ficando a critério do ministrante em acordo com os alunos quais desses e como serão discutidos. Os tópicos especiais também poderão ser abordados pelos alunos nos seminários de avaliação – a linguagem comum fornecida pelos tópicos iniciais fornece o conhecimento básico mínimo para a compreensão desse material. Os alunos são livres para propôr temas de seminário além dos tópicos especiais listados abaixo, contanto que sejam dentro do escopo da disciplina, mediante comum acordo com o ministrante.

Teoria básica de distribuições – espaços de funções teste e seus duais = distribuições, convergência de distribuições, diferenciação e multiplicação por funções suaves. Renormalização e discretização de distribuições. Convolução e regularização de distribuições. Produto tensorial de distribuições e teorema do núcleo de Schwartz. Distribuições temperadas e transformada de Fourier, aplicações.
O método de fase estacionária e integrais oscilatórias.
O conjunto frente de onda de uma distribuição – definição e propriedades básicas, distribuições com conjunto frente de onda prescrito.
Símbolos e operadores pseudodiferenciais – teorema de Borel, expansões assintóticas e cálculo simbólico. Definição de operadores pseudodiferenciais, operadores propriamente suportados. Cálculo básico de operadores pseudodiferenciais – produtos e adjuntos. Operadores regularizantes, operadores elípticos e parametrizes. Operadores pseudodiferenciais em variedades – os símbolos principal e subprincipal.
O microsuporte de um operador pseudodiferencial, ligação com o conjunto rente de onda. Operações básicas sobre distribuições revisitadas – produto e pullback.
Tópicos especiais (i) – Espaços de distribuições com conjunto frente de onda prescrito. Topologias e continuidade das operações básicas sobre distribuições.
Tópicos especiais (ii) – teoria de operadores elípticos em variedades compactas. Índice e propriedade de Fredholm, complexos elípticos e teorema de Hodge, assíntotas espectrais (fórmula de Weyl). Problemas de contorno e o projetor de Calderón.
Tópicos especiais (iii) – operadores integrais de Fourier e propagação de singularidades. Distribuições conormais e lagrangianas. Operadores integrais de Fourier – teoria local e global. O teorema de propagação de singularidades de Hörmander para operadores de tipo real principal. Exemplos – parametrizes de um operador diferencial parcial estritamente hiperbólico.
Tópicos especiais (iv) – estimativas e desigualdades para operadores pseudodiferenciais. Desigualdade estreita de Gärding e desigualdade de Calderón-Vaillancourt. Cálculo simbólico de Weyl-Hörmander e desigualdade de Fefferman-Phong.