Plano de ensino – Análise Microlocal – QS4 – 3q’21

Este é o plano de ensino para a disciplina de pós-graduação MAT-246 – Tópicos em Física-Matemática I: Distribuições, Análise Microlocal e Operadores Pseudodiferenciais conforme ministrada no terceiro quadrimestre letivo de 2021 = quarto Quadrimestre Suplementar (QS) – horário presencial: 3as. feiras e 5as. feiras, 14h00-16h00.

Novidades

Notícias recentes sobre o funcionamento do curso serão postadas aqui.

Aulas

Os links para o material de cada aula (vídeo e blog), acompanhados de uma breve descrição desta, serão listados aqui.

  • Aula 24 – 13.12.21 (vídeo) – Uma breve introdução aos operadores pseudodiferenciais: o símbolo e o símbolo principal de um operador diferencial parcial linear (ODPL) com coeficientes suaves, pseudolocalidade de ODPL’s. Soluções fundamentais e parametrizes de ODPL’s com coeficientes constantes – construção de uma parametriz no caso elíptico. Consequências da existência de uma parametriz. Parametrizes de ODPL’s elípticos com coeficientes variáveis – como construir o símbolo? Um vislumbre da teoria dos operadores pseudodiferenciais.
  • Aula 23 – 9.12.21 (vídeo) – Distribuições com suporte compacto e sua transformada de Fourier: distribuições com suporte compacto num aberto como funcionais lineares contínuos no espaço de Fréchet de funções suaves nesse aberto – extensão contínua de funções teste a funções suaves, caracterização de continuidade, distribuições com suporte compacto como distribuições temperadas. Caracterização da transformada de Fourier de distribuições com suporte compacto: interlúdio – produto tensorial de distribuições, o caso de funções teste, o teorema de Paley-Wiener-Schwartz (enunciado). Análise espectral de singularidades: direções singulares de uma distribuição com suporte compacto e sua localização, o conjunto frente de onda de uma distribuição.
  • Aula 22 – 7.12.21 (vídeo) – Distribuições temperadas e análise de Fourier (iii): sumário de resultados – (a) o espaço de Fréchet das funções suaves temperadas e seu dual topológico, o espaço das distribuições temperadas; (b) a transformada de Fourier de uma função suave temperada e suas propriedades básicas – ação de derivadas parciais e multiplicação por polinômios, fórmula de inversão de Fourier. Propriedades adicionais da transformada de Fourier: (c) simetria e extensão da transformada de Fourier para distribuições temperadas; (d) fórmula de Parseval (enunciado e prova), unitariedade da transformada de Fourier normalizada em L^2; (e) convolução de funções suaves temperadas – relação com o produto pontual e ação da transformada de Fourier sobre ambas operações. Extensão das propriedades básicas da transformada de Fourier para distribuições temperadas, recuperação da análise de Fourier clássica em espaços L^p.
  • Aula 21 – 2.12.21 (vídeo) – Distribuições temperadas e análise de Fourier (ii): motivação – funções exponenciais e ação de derivadas parciais sobre estas. O caso de expoentes imaginários, periodicidade. A transformada de Fourier como uma “superposição contínua” de exponenciais. Funções suaves temperadas em \mathbb{R}^n como um contexto natural para análise de Fourier. Recapitulação: funções suaves temperadas em \mathbb{R}^n (definição e seminormas, inclusão contínua e densidade sequencial do espaço de funções teste em \mathbb{R}^n), a transformada de Fourier de uma função suave temperada (definição formal, ação de derivadas parciais e multiplicação por polinômios). A fórmula de inversão de Fourier: enunciado e prova. Pontos fixos da transformada de Fourier normalizada.
  • Aula 20 – 30.11.21 (vídeo) – Distribuições temperadas e análise de Fourier: definição clássica da transformada de Fourier de uma função integrável, propriedades básicas. A transformada de Fourier de uma função teste em \mathbb{R}^n (i). Funções suaves temperadas em \mathbb{R}^n – definição e seminormas, inclusão contínua e densidade sequencial do espaço de funções teste em \mathbb{R}^n. Distribuições temperadas. Exemplos – (a) funções localmente integráveis de crescimento polinomial como distribuições temperadas; (b) funções gaussianas como funções suaves temperadas sem suporte compacto. A transformada de Fourier de uma função suave temperada – definição e propriedades (multiplicação por polinômios e derivadas parciais). Fórmula de inversão de Fourier e identidade de Parseval (enunciado).
  • Aula 19 – 25.11.21 (vídeo) –  Em breve.
  • Aula 18 – 23.11.21 (vídeo) – Distribuições em variedades (ii): recapitulação – atlas suaves n-dimensionais, cartas locais e cartas locais compatíveis com um atlas suave n-dimensional, topologia induzida por um atlas suave n-dimensional, o atlas maximal ( = estrutura suave) induzido por um atlas suave n-dimensional, definição de variedades suaves n-dimensionais e aplicações suaves entre variedades suaves de dimensão finita. Vetores tangentes: definição. Interlúdio: funções solavanco em variedades e a propriedade de Hausdorff.
  • Aula 17 – 18.11.21 (vídeo) – Distribuições em variedades. Preliminares: variedades suaves n-dimensionais – atlas suaves n-dimensionais, cartas locais e cartas locais compatíveis com um atlas suave n-dimensional. A topologia induzida por um atlas suave n-dimensional. O atlas maximal ( = estrutura suave) induzido por um atlas suave n-dimensional, compatibilidade entre atlas suaves n-dimensionais. Definição de variedades suaves n-dimensionais e aplicações suaves entre variedades suaves de dimensão finita. A propriedade de Hausdorff e paracompacidade da topologia de uma variedade: consequências.
  • Aula 16 – 16.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): composição (“pullback”) com difeomorfismos. Preliminares: difeomorfismos entre abertos de \mathbb{R}^n, fórmula de mudança de variáveis para integrais n-dimensionais, o determinante jacobiano. “Pushforward” de funções teste. “Pullback” e “pullback” torcido de distribuições, relação com o “pullback” de funções contínuas. O caso de distribuições com suporte compacto: extensão contínua a funções suaves, caracterização do espaço de distribuições com suporte compacto como o dual topológico do espaço de funções suaves. “Pushforward” e “pushforward” torcido de distribuições com suporte compacto, relação com o “pushforward” de funções teste.
  • Aula 15 – 11.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): convolução de distribuições com funções teste. Recapitulação: a convolução de uma função localmente integrável com uma função teste, a convolução de uma distribuição com uma função teste. Sequências delta e regularização de distribuições: interlúdio – caracterização multiplicativa do suporte e do suporte singular de uma distribuição. Densidade de funções teste no espaço de distribuições num aberto de \mathbb{R}^n.
  • Aula 14 – 9.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): convolução de distribuições com funções teste. Preliminares: a convolução de uma função localmente integrável com uma função teste – definição e propriedades (comutatividade, ação de derivadas parciais). Propriedade de suporte: preliminares (soma de um compacto com um fechado de \mathbb{R}^n, enunciado e prova, continuidade da convolução com funções teste. O caso de distribuições: definição e propriedades (ação de derivadas parciais, associatividade, relação com teste distribucional, transposição). Regularização de distribuições num aberto de \mathbb{R}^n: enunciado.
  • Aula 13 – 4.11.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): renormalização de distribuições como extensão de distribuições definidas num subespaço vetorial próprio de funções teste – existência (Hahn-Banach) e ambiguidade na escolha de renormalização pela adição de um elemento do aniquilador do subespaço vetorial. O caso de subespaços topologicamente complementados – correspondência entre pares topologicamente complementados de subespaços vetoriais e projeções lineares contínuas, renormalização como transposição de uma projeção linear contínua. Os subcasos de (a) subespaços vetoriais de dimensão finita e (b) de codimensão finita. Classificação completa de renormalizações de distribuições definidas em subespaços vetoriais de codimensão finita, exemplos.
  • Aula 12 – 26.10.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições (cont.): recapitulação – caracterização de continuidade de aplicações lineares entre espaços de funções teste. Transpostas ( = adjuntas formais) de aplicações lineares contínuas entre espaços de funções teste, continuidade nas topologias fraca e forte em espaços de distribuições. Aplicações lineares contínuas e propriamente suportadas entre espaços de funções teste e sua extensão a espaços de distribuições. Exemplos: (1) extensão por zero (transposta: restrição); (2) multiplicação por funções suaves; (3) derivadas parciais; (2) + (3) => operadores diferenciais parciais lineares com coeficientes suaves e seus adjuntos formais. Renormalização de distribuições.
  • Aula 11 – 21.10.21 (vídeo) – Operações sobre distribuições: caracterização da continuidade de aplicações lineares entre espaços de funções teste em termos de seminormas + controle de suportes e em termos sequenciais.
  • Aula 10 – 14.10.21 (vídeo) – Suporte e suporte singular de distribuições: recapitulação – extensão por zero de funções teste e restrição de distribuições a subconjuntos abertos do domínio. Definição de suporte e de suporte singular de uma distribuição em termos de restrições, relação com a definição no caso de funções. Caracterização alternativa do suporte e do suporte singular de uma função em termos de multiplicação por funções teste. Operações sobre distribuições: formulação abstrata – adjuntas formais ( = transpostas) de aplicações lineares contínuas entre espaços de funções teste. Caracterização da continuidade de aplicações lineares entre espaços de funções teste (a continuar).
  • Aula 9 – 14.10.21 (vídeo) – Localização de distribuições (continuação): paracompacidade de abertos de \mathbb{R}^n, existência de partições de unidade. Prova da propriedade de feixe ( = determinação de distribuições por suas restrições a membros de um recobrimento aberto) de espaços de distribuições em abertos de \mathbb{R}^n.
  • Aula 8 – 7.10.21 (vídeo) – Localização de distribuições: extensões de funções teste e restrições de distribuições, continuidade da restrição (exemplo de operação sobre distribuições definida por dualidade = transposição). Colagem de distribuições definidas nos membros de um recobrimento aberto (propriedade de feixe): enunciado. Interlúdio: partições de unidade.
  • Aula 7 – 5.10.21 (vídeo) – Distribuições: recapitulação – definição e caracterização sequencial de continuidade. Exemplos de distribuições (funções localmente integráveis, delta de Dirac e suas derivadas, derivadas fracas de funções contínuas, função degrau de Heaviside). Convergência de distribuições: digressão – redes num espaço topológico, redes convergentes, redes limitadas e redes de Cauchy num espaço localmente convexo. A topologia fraca e a topologia forte no espaço de distribuições – (in)completeza, completeza sequencial e o princípio de limitação uniforme (propriedade de Banach-Steinhaus).
  • Aula 6 – 30.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: a topologia do espaço de funções teste (continuação). Recapitulando: seminormas de supremo no espaço de Fréchet das funções suaves num aberto de \mathbb{R}^n e nos subespaços de funções suaves suportadas num subconjunto compacto, existência de exaustões de abertos de \mathbb{R}^n. O espaço das funções teste num aberto de \mathbb{R}^n como limite indutivo de subespaços de funções teste suportadas em subconjuntos compactos: existência da topologia indutiva, caracterização de limitados, convergência de sequências e continuidade de aplicações lineares com respeito à topologia indutiva. Equivalência de continuidade e funcionais lineares no espaço de funções teste num aberto de \mathbb{R}^n com continuidade sequencial no zero.
  • Aula 5 – 28.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: A topologia do espaço de funções teste (continuação). Seminormas de supremo no espaço de Fréchet das funções suaves num aberto de \mathbb{R}^n e nos subespaços de funções suaves suportadas num subconjunto compacto. Existência de exaustões de abertos por uma sequência crescente de subconjuntos compactos. O espaço das funções teste num aberto de \mathbb{R}^n como limite indutivo de subespaços de funções teste suportadas em subconjuntos compactos, continuidade de aplicações lineares com respeito a uma topologia localmente convexa indutiva no domínio. Distribuições num aberto de \mathbb{R}^n: definição. Identificação de funções contínuas e localmente integráveis com distribuições.
  • Aula 4 – 23.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: definição de funções teste num aberto, existência de unções teste não-triviais, suporte de funções (recapitulação). A topologia do espaço de funções teste num aberto de \mathbb{R}^n – Interlúdio: topologias vetoriais e topologias localmente convexas num espaço vetorial, seminormas e vizinhanças absolutamente convexas de zero. O espaço das funções teste num aberto de \mathbb{R}^n como limite indutivo de subespaços com suporte em subconjuntos compactos, seminormas no subespaço de funções teste suportadas num compacto dado.
  • Aula 3 – 21.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: definição de funções teste num aberto. Existência de funções teste não-triviais. Suporte de funções: preservação por soma e produto. O espaço de funções teste num aberto de \mathbb{R}^n: dimensão infinita, a questão da topologia. Interlúdio: topologias vetoriais e topologias localmente convexas num espaço vetorial, seminormas.
  • Aula 2 – 16.9.21 (vídeo) – Funções teste e distribuições: motivação. Exemplos da necessidade do conceito de distribuição: (1) extensão da ação de operadores diferenciais parciais lineares (ODPL’s) a funções não necessariamente diferenciáveis por meio de integração formal por partes (ação fraca), o adjunto formal de um ODPL, soluções fracas de EDP’s lineares (Sobolev); (2) como a ação fraca de um ODPL define um funcional linear num espaço vetorial de funções teste mas não pode definir uma função – exemplos: (a) função degrau de Heaviside ( = função de Green da derivada na reta real); (b) potencial de Newton ( = função de Green do laplaciano). Funções teste: definição.
  • Aula 1 – 14.9.21 (vídeo) – Informações sobre o funcionamento do curso. Motivação: o que é análise microlocal e qual é o seu propósito? Propagação de singularidades e funções de Green para equações diferenciais parciais lineares com coeficientes constantes (discussão informal) – análise de Fourier. O que muda no caso de coeficientes variáveis? Análise microlocal como uma extensão da análise de Fourier. Distribuições e motivação para seu uso – exemplo: comportamento singular do potencial de Newton (função de Green para o laplaciano em \mathbb{R}^3).

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

  • S. Alinhac, P. Gérard, Pseudodifferential Operators and the Nash-Moser Theorem. American Mathematical Society, 2008.
  • J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators. Birkhäuser, 1996.
  • A. Grigis, J. Sjöstrand, Microlocal Analysis for Differential Operators. Cambridge University Press, 1995.
  • L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis. Springer-Verlag, 1990.
  • L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer-Verlag, 1994.
  • Notas de aula serão disponibilizadas aqui à medida que o conteúdo for apresentado.

Recomendações e material didático suplementar

Faremos uso substancial de tópicos apresentados na disciplina de pós-graduação MAT-221 – Equações Diferenciais Parciais. Ingredientes da disciplina de pós-graduação MAT-266 – Variedades Diferenciáveis também são empregados, mas seu conhecimento prévio não é absolutamente necessário.

Estrutura das atividades da disciplina

As aulas serão transmitidas sincronamente a partir de 14.9 às 3as. e 5as. feiras das 14h às 16h. As transmissões das aulas serão gravadas e disponibilizadas posteriormente de maneira assíncrona. O link para a sala de reunião (Google Meet) onde cada aula será transmitida será divulgado por email e pelo Moodle com no máximo 30 minutos de antecedência por razões de segurança. A entrada nas salas de reunião só será permitida mediante o uso da conta Google vinculada ao email institucional da UFABC, para fins de segurança e controle da participação dos alunos. Para realizar o vinculamento, recomendo seguir o tutorial do NTI https://www.youtube.com/watch?v=Rf4kIbb4_sk para o procedimento.

Além dos vídeos e das notas de aula, a disponibilização das aulas em formato de blog está em estudo.

O objetivo das aulas síncronas é permitir (dentro das limitações da internet de cada aluno e do docente) uma maior participação dos alunos. Os links para os vídeos (e, se for o caso, dos posts no blog) correspondentes a cada aula serão disponibilizados na lista de aulas.

Avaliação

A avaliação será baseada em seminários a serem apresentados por cada aluno no final do quadrimestre – para mais detalhes, ver o Roteiro da disciplina abaixo. O conceito final é dado com base no seminário de avaliação e na participação de cada aluno nas aulas e no fórum de dúvidas.

Dúvidas

Será mantido um fórum de dúvidas permanente e aberto para discussões e dúvidas sobre o conteúdo da disciplina. Os alunos são livres (e encorajados!) para fazer perguntas e também responder às dúvidas dos colegas. Em virtude do número reduzido de participantes, plantões de dúvidas por videoconferência no Google Meet poderão ser agendados pontualmente se necessário.

Roteiro

A disciplina terá um formato de tópicos, de modo que a ementa abaixo é apenas aproximada – ajustes serão feitos conforme necessário ao longo do curso. Os chamados tópicos especiais são de discussão aberta, ficando a critério do ministrante em acordo com os alunos quais desses e como serão discutidos. Os tópicos especiais também poderão ser abordados pelos alunos nos seminários de avaliação – a linguagem comum fornecida pelos tópicos iniciais fornece o conhecimento básico mínimo para a compreensão desse material. Os alunos são livres para propôr temas de seminário além dos tópicos especiais listados abaixo, contanto que sejam dentro do escopo da disciplina, mediante comum acordo com o ministrante.

  • Teoria básica de distribuições – espaços de funções teste e seus duais = distribuições, convergência de distribuições, diferenciação e multiplicação por funções suaves. Renormalização e discretização de distribuições. Convolução e regularização de distribuições. Produto tensorial de distribuições e teorema do núcleo de Schwartz. Distribuições temperadas e transformada de Fourier, aplicações.
  • O método de fase estacionária e integrais oscilatórias.
  • O conjunto frente de onda de uma distribuição – definição e propriedades básicas, distribuições com conjunto frente de onda prescrito.
  • Símbolos e operadores pseudodiferenciais – teorema de Borel, expansões assintóticas e cálculo simbólico. Definição de operadores pseudodiferenciais, operadores propriamente suportados. Cálculo básico de operadores pseudodiferenciais – produtos e adjuntos. Operadores regularizantes, operadores elípticos e parametrizes. Operadores pseudodiferenciais em variedades – os símbolos principal e subprincipal.
  • O microsuporte de um operador pseudodiferencial, ligação com o conjunto rente de onda. Operações básicas sobre distribuições revisitadas – produto e pullback.
  • Tópicos especiais (i) – Espaços de distribuições com conjunto frente de onda prescrito. Topologias e continuidade das operações básicas sobre distribuições.
  • Tópicos especiais (ii) – teoria de operadores elípticos em variedades compactas. Índice e propriedade de Fredholm, complexos elípticos e teorema de Hodge, assíntotas espectrais (fórmula de Weyl). Problemas de contorno e o projetor de Calderón.
  • Tópicos especiais (iii) – operadores integrais de Fourier e propagação de singularidades. Distribuições conormais e lagrangianas. Operadores integrais de Fourier – teoria local e global. O teorema de propagação de singularidades de Hörmander para operadores de tipo real principal. Exemplos – parametrizes de um operador diferencial parcial estritamente hiperbólico.
  • Tópicos especiais (iv) – estimativas e desigualdades para operadores pseudodiferenciais. Desigualdade estreita de Gärding e desigualdade de Calderón-Vaillancourt. Cálculo simbólico de Weyl-Hörmander e desigualdade de Fefferman-Phong.

Pedro Lauridsen Ribeiro

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