Plano de ensino – FUV – 1q’24 – Pedro Lauridsen Ribeiro

Esta é a página sobre a disciplina BCN0402 – Funções de Uma Variável, ministrada no primeiro quadrimestre de 2024 para as seguintes turmas:

A1 – Noturno, campus Santo André – horário: 2as. feiras 19h00-21h00 e 4as. feiras 21h00-23h00, sala A-S008-0-SA.
B1 – Noturno, campus Santo André – horário: 2as. feiras 21h00-23h00 e 4as. feiras 19h00-21h00, sala A-S106-0-SA.

Aqui encontram-se informações específicas sobre as turmas acima – informações gerais sobre o curso podem ser encontradas na página do Gradmat para a disciplina de FUV.

Novidades

Notícias recentes sobre o funcionamento do curso serão disponibilizadas aqui.

Aulas

Uma breve descrição do conteúdo apresentado em cada aula está listada abaixo.

Aula 19 – 22.4.24 – Aplicações de cálculo integral (iv): 3.) valor médio de uma função – derivação a partir de somas de Riemann, relação com o Teorema do Valor Médio. 4.) Centro de massa ( = centroide = baricentro) de uma região plana – derivação a partir de somas de Riemann, relação com o volume de um sólido de revolução (teorema de Pappus). 5.) Comprimento de carco do gráfico de uma função – definição a partir de somas de Riemann, exemplos (comprimento de arco de um trecho de um círculo e relação com a área do setor circular correspondente sem o uso de funções trigonométricas).
Aula 18 – 17.4.24 – Aplicações de cálculo integral (iii): recapitulação – teorema fundamental do Cálculo, área entre os gráficos de duas funções contínuas (derivação a partir de somas de Riemann), volumes de sólidos (princípio de Cavalieri e exemplos de sua aplicação). Volumes de sólidos de revolução ao redor do eixo horizontal (“método dos discos”) e ao redor do eixo vertical (“método das cascas cilíndricas”).
Aula 16 – 10.4.24 – A integral de Riemann (ii): recapitulação – Integral de Riemann superior e inferior, funções integráveis e integral de Riemann. Propriedades da integral de Riemann: 1.) linearidade, 2.) positividade e 3.) aditividade. O teorema fundamental do Cálculo (enunciado) – funções contínuas são integráveis e, nesse caso, a integral de Riemann coincide com a integral definida. Aplicações de cálculo integral (i): área entre os gráficos de duas funções contínuas.
Aula 15 – 3.4.24 – Primitivas (ii): recapitulação – definição formal, notação e propriedades – diferença entre duas primitivas de uma mesma função é constante, integrais indefinidas, especificação da constante arbitrária, integrais definidas, regras de primitivação (1.) linearidade 2.) integração por partes, 3.) integração por substituição). Exemplos de cálculo de integrais indefinidas. A integral de Riemann (i): preliminares – área com sinal entre o gráfico de uma função e um intervalo, partições e somas de Riemann superiores / inferiores de uma função limitada com respeito a uma partição, interpretação geométrica, amostras de uma partição e soma de Riemann com respeito a uma partição com amostra. Refinamento de partições e seu efeito sobre somas de Riemann superiores / inferiores (método de exaustão). Integral de Riemann superior e inferior, funções integráveis e integral de Riemann.
Aula 14 – 1.4.24 – Primitivas (i): definição formal, notação e propriedades – diferença entre duas primitivas de uma mesma função é constante, integrais indefinidas, especificação da constante arbitrária, integrais definidas. Interpretação cinemática: recuperando a posição de uma trajetória a partir de sua velocidade e uma posição inicial. Regras de primitivação: 1.) linearidade 2.) integração por partes, 3.) integração por substituição. Propriedades adicionais de integrais definidas com respeito aos extremos de integração, integrais definidas de funções não-negativas são não-negativas. Exemplos de cálculo de integrais indefinidas (i): regra do tombo inversa, funções exponenciais.
Aula 13 – 25.3.24 – Problemas de otimização: roteiro – 1.) modelagem matemática do problema concreto (identificação das variáveis e suas relações entre si, formulação do problema como determinação de máximos e mínimos de uma função no domínio relevante para o problema); 2.) solução do problema matemático abstrato obtido no passo 1.); 3.) interpretação da solução no contexto do problema original. Erro da aproximação de uma função por polinômios de Taylor: Teorema do Valor Médio de ordem $n$ , estimativa do erro de aproximação. Formas indeterminadas e regra de l’Hôspital: enunciado da regra, cuidados necessários à sua aplicação ao cálculo de limites (checar se a expressão no limite é uma forma indeterminada do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ !), aplicação da regra de l’Hôspital ao cálculo de limites para formas indeterminadas do tipo $0\cdot\infty$ , $\infty-\infty$ e limites do tipo $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}$ (formas indeterminadas do tipo $0^0$ , $\infty^0$ e $1^\infty$ ), aplicações sucessivas da regra de l’Hôspital e cuidados necessários associados.
Aula 12 – 20.3.24 – Limites infinitos e limites no infinito: definição, propriedades e exemplos. Assíntotas: definição geral, interpretação geométrica de limites infinitos ( = assíntotas verticais) e limites no infinito ( = assíntotas horizontais), assíntotas oblíquas. Roteiro para esboço de gráficos de uma função $f$ contínua com $f$ e $f'$ possuindo um número finito de pontos críticos: 1.) Determinação do domínio de $f); 2.) Onde o gráfico de \(f) cruza os eixos cartesianos - eixo horizontal (zeros de \(f$ – determinação aproximada usando os passos 3.) e 4.) juntamente com o Teorema do Valor Intermediário) e eixo vertical (valor de $f$ em zero); 3.) Determinação dos pontos críticos de $f$ no seu domínio e respectivos valores críticos, determinação dos intervalos abertos no domínio de $f$ onde $f'$ tem sinal definido (diagrama de sinais de $f'$ : $\oplus$ – $f'>0\,\Rightarrow\,f$ é estritamente crescente no intervalo; $\ominus$ – $f'<0\,\Rightarrow\,f$ é estritamente decrescente no intervalo); 4.) Determinação dos pontos críticos de $f'$ no domínio de $f$ , determinação dos intervalos abertos no domínio de $f$ onde $f''$ tem sinal definido (diagrama de sinais de $f''$ : $\oplus$ – $f''>0\,\Rightarrow\,f$ é convexa no intervalo; $\ominus$ – $f''<0\,\Rightarrow\,f$ é côncava no intervalo) $\Rightarrow$ determinação dos pontos de máximo e mínimo locais de $f$ usando o diagrama de sinais de $f'$ (critério da derivada primeira) ou o diagrama de sinais de $f''$ (critério da derivada segunda), determinação dos pontos de inflexão de $f$ usando o diagrama de sinais de $f''$ ; 5.) Assíntotas de $f$ (se existirem).
Aula 11 – 18.3.24 – Funções convexas ( = “côncavas por cima”) e côncavas ( = “côncavas por baixo”): definição e propriedades – 1.) $f$ convexa (resp. côncava) $\Leftrightarrow$ $-f$ côncava (resp. convexa), 2.) $f$ convexa ou côncava em $[a,b]$ $\Rightarrow$ $f$ contínua em $(a,b)$ , 3.) $f'$ crescente (resp. decrescente) $\Rightarrow$ $f$ convexa (resp. côncava) 4.) $f''>0$ (resp. $f''<0$ ) $\Rightarrow$ $f$ convexa (resp. côncava). Máximos e mínimos de funções (iii): determinação de máximos e mínimos locais (ii) – o critério da segunda derivada. Pontos de inflexão.
Aula 10 – 13.3.24 – Máximos e mínimos de funções (ii): recapitulação – nomenclatura (pontos de máximo / mínimo globais (absolutos) / locais (relativos) e (valores) máximos / mínimos globais (absolutos) / locais (relativos), pontos de extremo globais (absolutos) / locais (relativos) e (valores) extremos globais (absolutos) / locais (relativos)), critérios básicos para a determinação de máximos e mínimos (Teorema do Valor Extremo (TVE) e critério de Fermat, pontos críticos e valores críticos). Consequências conjuntas do TVE e do critério de Fermat (ii): teorema de Rolle e aplicações (número de zeros de uma função e de sua derivada), teorema do valor médio (TVM) e TVM generalizado, propriedade do valor intermediário (PVI) para derivadas. Consequências do TVM: como o sinal da derivada determina a monotonicidade da função. Determinação de máximos e mínimos locais (i): o critério da primeira derivada.
Aula 9 – 11.3.24 – Máximos e mínimos de funções (i): nomenclatura – pontos de máximo / mínimo globais (absolutos) / locais (relativos) e (valores) máximos / mínimos globais (absolutos) / locais (relativos), pontos de extremo globais (absolutos) / locais (relativos) e (valores) extremos globais (absolutos) / locais (relativos). Exemplos e contra-exemplos de existência de máximos e mínimos. Critérios básicos para a determinação de máximos e mínimos: o Teorema do Valor Extremo (TVE) e o critério de Fermat, pontos críticos e valores críticos. Método para a determinação de máximos e mínimos globais de funções contínuas num intervalo fechado e limitado com um número finito de pontos críticos. Consequências conjuntas do TVE e do critério de Fermat (i): o teorema de Rolle e o teorema do valor médio.
Aula 8 – 6.3.24 – Aplicações da regra da cadeia (ii): problemas de taxas relacionadas – exemplo e forma geral. Derivadas de ordem superior: definição e exemplos, polinômios de Taylor.
Aula 7 – 4.3.24 – Regras de cálculo de derivadas (vi): recapitulação – propriedades de funções exponenciais e logarítmicas a partir do caso de expoentes racionais. Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas (ii): quociente de Newton de uma função exponencial e limite fundamental associado, consequências da existência do limite fundamental – o logaritmo natural e a exponencial natural, fórmulas para as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, expressão da função logarítmica de base $a>0$ , $a\neq 1$ em termos do logaritmo natural, mudança de base de logaritmos. Prova da existência e positividade do limite fundamental $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{a^t-1}{t}=\ln(a)$ para o quociente de Newton da função exponencial de base $a>1$ . Aplicações: 1.) “regra do tombo” vale para qualquer expoente real, 2.) uso da fórmula $g(x)=\exp(\ln(g(x)))$ para o cálculo da derivada de funções da forma $f(x)=g(x)^{h(x)}$ com $g(x)>0$ , derivada logarítmica.
Aula 6 – 28.2.24 – Regras de cálculo de derivadas (v): recapitulação – funções trigonométricas básicas e suas derivadas a partir de $\mathrm{sen}(x)$ . Funções trigonométricas inversas (ii): definição e cálculo da derivada pela regra da inversa, o papel das relações trigonométricas (continuação). Aplicações da regra da cadeia (i): funções definidas implicitamente, derivação implícita. Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas (i): propriedades de funções exponenciais e logarítmicas a partir do caso de expoentes racionais, quociente de Newton de uma função exponencial e limite fundamental associado, o logaritmo natural e a exponencial natural, fórmulas para as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
Aula 5 – 26.2.24 – Regras de cálculo de derivadas (iv): recapitulação – regras de cálculo de derivadas (regras da soma, do múltiplo, do produto = Leibniz, da recíproca e do quociente, regra da cadeia = derivada de funções compostas, regra da inversa = derivada de funções inversas), exemplos de aplicação da regra da inversa e da regra da cadeia (ver exemplos (iii) da Aula 4). Derivadas das funções trigonométricas básicas: derivada de $\mathrm{sen}(x)$ – regras de adição, redução ao limite fundamental $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}=1$ , dedução geométrica do limite fundamental pelo Teorema do Confronto. Expressão das demais funções trigonométricas básicas em termos de $\mathrm{sen}(x)$ e suas derivadas. Funções trigonométricas inversas (i): definição e cálculo da derivada pela regra da inversa, o papel das relações trigonométricas.
Aula 4 – 21.2.24 – Regras de cálculo de derivadas (iii): recapitulação – regra da cadeia (derivada de funções compostas – enunciado, notação de Leibniz versus notação de Lagrange e prova). Problemas com a “prova” da regra da cadeia sugerida pela notação de Leibniz. Subproduto da prova da regra da cadeia: linearização de uma função ao redor de um ponto onde ela é derivável = “melhor” aproximação linear ao redor desse ponto, erro de linearização. Regra da inversa (derivada de funções inversas): interlúdio – Teorema do Valor Intermediário (TVI), propriedade do valor intermediário (PVI) e Teorema do Valor Extremo (TVE), caracterização de funções contínuas injetoras num intervalo fechado e de suas inversas em termos da PVI. Enunciado e prova da regra da inversa. Exemplos (iii): 6.) “regra do tombo” para raízes $n$ -ésimas ( $n\in\mathbb{N}$ ) e 7.) para potências racionais.
Aula 3 – 19.2.23 – Derivadas (ii): recapitulação – definição formal, quocientes de Newton, funções deriváveis num ponto, regras de cálculo de derivadas (i) (somas, múltiplos por reais, produtos, recíprocas e quocientes). Exemplos (ii) – 4.) derivadas de funções racionais, 5.) “regra do tombo” para expoentes inteiros negativos. Regras de cálculo de derivadas (ii) – regra da cadeia (enunciado e prova). Exemplos (iii) – 5.) a regra da recíproca como caso particular. Derivadas de funções trigonométricas – a função seno, relação com limite fundamental, motivação geométrica.
Aula 2 – 7.2.23 – Derivadas (i): definição formal, quocientes de Newton, funções deriváveis num ponto. Interpretação do quociente de Newton de uma função como taxa de variação média e como inclinação da reta secante ao seu gráfico em dois pontos distintos, interpretação da derivada de uma função como taxa de variação instantânea e como inclinação da reta tangente ao seu gráfico num ponto. Continuidade de uma função nos pontos onde ela é derivável. Regras de cálculo de derivadas (i) – somas, múltiplos por reais, produtos (regra de Leibniz), recíprocas e quocientes (enunciado e prova). Exemplos (i) – 0.) funções constantes, 1.) f(x)=x, 2.) derivada de potências naturais de x (“regra do tombo”), 3.) derivadas de funções polinomiais.
Aula 1 – 5.2.23 – Informações sobre o funcionamento do curso. Motivação: uma breve perspectiva histórica sobre o cálculo diferencial e integral – cálculo de áreas (método de exaustão – Eudoxo e Arquimedes), máximos e mínimos de funções e sua relação com a inclinação (horizontal) da reta tangente ao gráfico da função nos pontos de máximo e mínimo (Fermat), taxas de variação média e instantânea, a relação do cálculo de tangentes com o cálculo de áreas em Cinemática (Newton).

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 1 (2a. edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume I – Second Edition. Wiley, 1967).
Michael Spivak, Calculus (3a. edição). Publish or Perish, 1994.
James Stewart, Cálculo, Volume 1 (6a. edição). Cengage Learning, 2012.

Textos suplementares:

Hamilton L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Volume 1 (5a. edição). Editora LTC, 2001.
Armando Caputi, Cristian F. Coletti e Daniel Miranda – Notas de Aula de Cálculo I (online).
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3a. edição). McGraw-Hill, 1976.
Apex Calculus (online, serve como referência para as notas de aula dos profs. Caputi, Coletti e Miranda citadas acima).

Recomendações e material didático suplementar

Faremos uso tácito de conceitos vistos na disciplina BIS0003 – Bases Matemáticas, particularmente das noções de limite e continuidade (capítulo 9 das notas de aula dos profs. Armando Caputi e Daniel Miranda). Recomendamos fortemente que @ participante com dificuldades nesses tópicos faça uma revisão destes, pois isto não será feito em aula.

A UFABC possui um canal no YouTube para a disciplina de FUV, com vídeos de aulas remotas de quadrimestres anteriores. Uma seleção de vídeos para estudo individual também pode ser encontrada no cronograma unificado do Gradmat para a disciplina de FUV.

Para auxiliar a visualização de gráficos de funções no estudo individual, recomendamos os softwares GeoGebra e o aplicativo Web Symbolab. Para mais sugestões de software, recomendamos visitar a página do Gradmat para a disciplina de FUV.

Avaliação

Média preliminar:
M_p = 0,5*(P₁+P₂) + 0,15*M_t , onde M_t é a média dos testes online no Moodle (valendo de 0 a 10).
Média final:
M_p = 0,5*max(P₁+P₂, Rec+P₁, Rec+P₂) + 0,15*M_t
Critério de conversão de média preliminar (M_p) / final (M_f) para conceito preliminar (C_p) / final (C_f):
C_p (resp. C_f) = F – M_p (resp. M_f) < 4,5;
C_p (resp. C_f) = D – M_p (resp. M_f) = 4,5-5,2;
C_p (resp. C_f) = C – M_p (resp. M_f) = 5,3-6,9;
C_p (resp. C_f) = B – M_p (resp. M_f) = 7,0-8,4;
C_p (resp. Cf) = A – M_p (resp. M_f) = 8,5-10,0.
Haverá uma prova substitutiva e uma prova de recuperação no final do curso. O conteúdo de ambas as provas compreenderá toda a matéria.
A prova substitutiva só poderá ser feita por participantes que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva. Preferencialmente o documento físico original deve ser entregue; se não por possível (e.g. pelo mesmo ser exigido para justificar ausência em provas de outras disciplinas), será aceita uma cópia digitalizada enviada por email mas será exigido nesse caso que @ participante apresente o documento original para conferência dentro do mesmo prazo.
A prova de recuperação será aplicada no início do 2q’24, em data e local a serem divulgados futuramente. Apenas participantes que ficaram com conceitos preliminares D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
Datas das provas:
P1 – 27.3 (quarta-feira);
P2 – 3.5 (sexta-feira);
Sub – 7.5 (terça-feira, se houver necessidade);
Rec – início do segundo quadrimestre de 2024, a divulgar.
Atenção: Como a data da P2 é destinada à reposição do feriado de 14.2 (quarta-feira de Cinzas) e a data da Sub é destinada à reposição da ponte de feriado de 8.4 (segunda-feira, aniversário de Santo André), essas provas seguirão os horários e locais das aulas no dia da semana em que tenha caído o respectivo feriado sendo reposto. Ver calendário de reposição de feriados para mais detalhes.

Listas de exercícios

As listas de exercícios do Gradmat podem ser encontradas aqui:

É extremamente importante que @s participantes façam todas as listas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!

@s participantes que assim desejarem poderão entregar as suas resoluções das listas correspondentes à matéria de cada prova até a aula seguinte a prova correspondente (P1 – 20.3; P2 – data da Sub). Tais listas serão avaliadas nos casos de média final limítrofe para aprovação (ver tabela de conversão de conceitos acima), convertendo-se num bônus de até 1,0 ponto na média final.

Testes online (Moodle)

Haverá quatro (4) testes online na plataforma Moodle. @s participantes deverão receber as informações detalhadas sobre cada teste diretamente nos seus emails institucionais ((at)aluno.ufabc.edu.br), e deverão logar-se na plataforma com seu login e senha institucionais para fazer os testes.

Os exercícios cobertos nos testes online constituem uma seleção mínima de exercícios e não substituem a resolução das listas de exercícios do Gradmat, que são mais abrangentes e completas.

Cronograma de janelas de resolução dos testes:

Teste 1 – 23.2 a 27.2;
Teste 2 – 22.3 a 26.3;
Teste 3 – 5.4 a 9.4;
Teste 4 – 26.4 a 30.4.

Monitoria e plantão de dúvidas

A partir de segunda-feira, 19.2 haverá monitoria presencial nas seguintes datas e horários:

José Roberto Galdino Serra – 2as. feiras, 14h00-15h30, sala A-S311-1 (campus SA);
Marcel Morimoto – 5as. feiras, 16h00-18h00, sala A-S311-1 (campus SA);
Pedro Emanuel Verolese Lopes – 6as. feiras, 12h00-13h30, sala A-S309-3 (campus SA).

Haverá também atendimento online síncrono por videoconferência (Google Meet, Discord e Telegram) a partir de terça-feira, 20.2 nos seguintes horários:

José Roberto Galdino Serra – 3as. feiras, 17h00-18h00 e 6as. feiras, 10h00-12h00 – sala Google Meet;
Marcel Morimoto – 4as. feiras, 17h00-18h00 e sábados, 14h00-16h00 – sala Discord;
Pedro Emanuel Verolese Lopes – 6as. feiras, 16h00-17h00 e sábados, 12h00-14h00 – Telegram.

Haverá também um plantão de dúvidas por videoconferência (Google Meet) às terças-feiras das 18h00 às 20h00, que terá início em 6.2. Para acessar a sala de reunião será necessário usar a conta Google vinculada ao endereço de email institucional da UFABC ((at)aluno.ufabc.edu.br). Veja o tutorial do NTI https://www.youtube.com/watch?v=Rf4kIbb4_sk para fazer a vinculação caso isso já não tenha sido feito. Reitero que o acesso à sala será tacitamente negado a contas Google que não satisfaçam a essa condição, por razões de segurança. O link da sala será divulgado por email pouco (no máximo 30 minutos) antes do início de cada plantão.

Finalmente, o Moodle terá um fórum aberto de perguntas e respostas onde @s participantes poderão tirar suas dúvidas assincronamente com o docente e/ou colegas.

Roteiro

Seguiremos de maneira aproximada o cronograma unificado do Gradmat para a disciplina de FUV, com algumas modificações a serem indicadas quando necessário.

Derivadas: Definição, interpretação geométrica, regras de derivação (soma, produto, quociente, regra da cadeia e função inversa), derivadas de funções elementares (polinomial, potência, trigonométrica, logarítmica, exponencial), derivadas de ordem superior. Aplicações de derivadas: máximos e mínimos, crescimento e decrescimento, concavidade, interpretação de gráficos, teorema do valor médio de Cauchy, regra de L’Hospital, otimização. Fórmula de Taylor.

Integrais: área sob uma curva e as somas de Riemann, integral definida, propriedades da integral definida, teorema fundamental do cálculo, cálculo de áreas entre curvas, integral indefinida. Métodos de integração: integração por mudança de variável, integração por partes, integração de funções racionais por frações parciais, integração de potências de funções trigonométricas. Aplicações do cálculo integral: comprimentos de arcos, áreas e volumes de sólidos por revolução.