Plano de ensino – Análise no Rn I – 3q’25

Esta é a página sobre a disciplina MCTB004 – Análise no Rn I, ministrada no terceiro quadrimestre de 2025 para a seguinte turma:

A – Noturno, campus Santo André – horário: 3as. feiras 19h00-21h00, sala A-S008-0-SA e 5as. feiras 21h00-23h00, sala A-S305-1-SA.

Aqui encontram-se informações específicas sobre a turma acima.

Aulas

Uma breve descrição do conteúdo apresentado em cada aula está listada abaixo.

Aula 1 – 16.9.25 – Informações sobre o funcionamento do curso. Geometria (euclideana) de $\mathbb{R}^n$ (i): operações vetoriais e axiomas de espaço vetorial, produto escalar (canônico) e axiomas de produto escalar, desigualdade de Cauchy-Schwarz (enunciado) e suas consequências – norma e distância euclideana, ângulo entre vetores não nulos (lei dos cossenos). (Apostol – Seções 1.2 a 1.4 e 1.11; Duistermaat-Kolk – Seção 1.1; Elon – Seções I.1 e I.2; Rudin – Seções 1.36 a 1.38)

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

Johannes J. Duistermaat, Johan A.C. Kolk, Multidimensional Real Analysis I – Differentiation. Cambridge University Press, 2004;
Elon L. Lima, Curso de Análise – Volume 2 (11a. edição). Projeto Euclides, IMPA, 2009;
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3a. edição). McGraw-Hill, 1976;
Robert S. Strichartz, The Way of Analysis (ed. revisada). Jones and Bartlett, 2000;
Terence Tao, Analysis II (3a. edição). Hindustan Book Agency, 2014.

Textos suplementares:

Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 2 (segunda edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume II – Second Edition. Wiley, 1969);
Robert G. Bartle, The Elements of Real Analysis (segunda edição). Wiley, 1976;
Chaim S. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Editora Livraria da Física, 2011;
Elon L. Lima, Análise no Espaço $\mathbb{R}^n$ (segunda edição). Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010.

Recomendações e material didático suplementar

É recomendado que o aluno tenha cursado anteriormente as disciplinas MCTB001 – Álgebra Linear e MCBM002 – Análise Real I, pois vários tópicos destas serão abordados de maneira mais breve ou simplesmente usados de maneira tácita. Indicamos material encontrado em algumas das referências acima para o aluno que sentir necessidade de revisar de maneira mais profunda conceitos vistos nesses cursos.

MCTB001 – Álgebra Linear: Apostol – capítulos 1 a 5
MCBM002 – Análise Real I: Rudin – capítulos 1, 4 e 5; Strichartz – capítulos 2 a 5

Avaliação

Média preliminar:
M_p = 0,5*(P₁+P₂)
Média final:
M_p = 0,5*max(P₁+P₂, Rec+P₁, Rec+P₂)
Critério de conversão de média preliminar (M_p) / final (M_f) para conceito preliminar (C_p) / final (C_f): C_p (resp. C_f) = F – M_p (resp. M_f) < 4,5;
C_p (resp. C_f) = D – M_p (resp. M_f) = 4,5-5,2;
C_p (resp. C_f) = C – M_p (resp. M_f) = 5,3-6,9;
C_p (resp. C_f) = B – M_p (resp. M_f) = 7,0-8,4;
C_p (resp. Cf) = A – M_p (resp. M_f) = 8,5-10,0.
Haverá uma prova substitutiva e uma prova de recuperação no final do curso. O conteúdo de ambas as provas compreenderá toda a matéria.
A prova substitutiva só poderá ser feita por participantes que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva. Preferencialmente o documento físico original e/ou digital com assinatura digital deve ser entregue; se não por possível (e.g. pelo documento original ser exigido para justificar ausência em provas de outras disciplinas), será aceita uma cópia digitalizada enviada por email mas será exigido nesse caso que @ participante apresente o documento original para conferência dentro do mesmo prazo.
A prova de recuperação será aplicada no início do 1q’26, em data e local a serem divulgados futuramente. Apenas participantes que ficaram com conceitos preliminares D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
Datas das provas:
P1 – 30.10 (quinta-feira);
P2 – 9.12 (terça-feira);
Sub – 11.12 (quinta-feira, se houver necessidade);
Rec – início do primeiro quadrimestre de 2026, a divulgar.

Listas de exercícios

As listas de exercícios serão disponibilizadas gradativamente.

É extremamente importante que @s participantes façam todas as listas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!

@s participantes que assim desejarem poderão entregar as suas resoluções das listas correspondentes à matéria de cada prova até a aula seguinte a prova correspondente (P1 – 4.11; P2 – data da Rec). Tais listas serão avaliadas nos casos de média final limítrofe para aprovação (ver tabela de conversão de conceitos acima), convertendo-se num bônus de até 1,5 ponto na média final.

Plantão de dúvidas

Haverá um plantão de dúvidas às segundas-feiras das 17h00 às 19h00, na minha sala (A-S543-2, Torre 2, Bloco A, campus Santo André). O plantão terá início no dia 22.9.

Roteiro

Abaixo indicamos brevemente a ordem de tópicos a ser seguida, com indicações das seções correspondentes nos três livros-texto principais listados acima. Esse roteiro poderá sofrer ligeiras modificações e/ou omissões ao longo do curso, na medida do necessário.

Notar que essas seções podem ocasionalmente conter mais material do que será visto em aula – um guia mais preciso do conteúdo será dado pelos exercícios das listas (e, é claro, pelo material apresentado em aula 😉 ).

$\mathbb{R}^n$ como espaço vetorial e como espaço métrico: produto escalar, projeções ortogonais, norma Euclideana e distância Euclideana (Duistermaat-Kolk – seção 1.1; Elon – seções I.1 e I.2; Rudin – seções 1.36 a 1.38);
Topologia de $\mathbb{R}^n$ : pontos de aderência e pontos interiores, abertos e fechados, fecho, interior e fronteira, subconjuntos limitados, pontos de acumulação e pontos isolados, subconjuntos conexos, subconjuntos perfeitos e discretos (Duistermaat-Kolk – seções 1.2, 1.6, 1.8 e 1.9; Elon – seções I.4, I.6, I.10, I.11 e I.14; Rudin – seções 2.15 a 2.30 e 2.43 a 2.47);
Sequências em $\mathbb{R}^n$ : limites e subsequências, sequências limitadas e de Cauchy, completeza de $\mathbb{R}^n$ (Duistermaat-Kolk – seções 1.1 e 1.6; Elon – seção 1.5; Rudin – seções 3.1 a 3.12);
Recobrimentos e compacidade: subconjuntos compactos, o teorema de Heine-Borel-Lebesgue em $\mathbb{R}^n$ (Duistermaat-Kolk – seção 1.8; Elon – seção I.12; Rudin – seções 2.31 a 2.42);
Funções e aplicações em abertos de $\mathbb{R}^n$ e seus limites (Duistermaat-Kolk – seção 1.3; Elon – seção I.9; Rudin – seções 2.1, 2.2 e 4.1 a 4.4);
Aplicações contínuas: formulação local e global, preservação de operações algébricas e de composição, continuidade da inversa e homeomorfismos, aplicações Lipschitzianas, contrações e o teorema de ponto fixo de Banach, preservação de conexidade e compacidade por aplicações contínuas (Duistermaat-Kolk – seções 1.3 a 1.5, e 1.7 a 1.9; Elon – seções I.7, I.8 a I.12, e I.14; Rudin – seção 4.5 a 4.23, 9.22 e 9.23);
Aplicações diferenciáveis: derivada direcional e diferencial de uma aplicação, derivadas parciais, aplicações diferenciáveis e continuamente diferenciáveis, a matriz Jacobiana, linearidade da diferenciação, regra da cadeia (Duistermaat-Kolk – seções 2.1 a 2.6; Elon – seções III.1 a III.6, e V.1 a V.3; Rudin – seções 9.10 a 9.21);
Diferenciação de funções de várias variáveis em ordem superior: a matriz Hessiana, critério de comutatividade de derivadas parciais (teorema de Schwarz), fórmula de Faà di Bruno, fórmula de Taylor para funções de várias variáveis (Duistermaat-Kolk – seções 2.7 e 2.8; Elon – seções III.7, III.8 e V.4; Rudin – seções 9.39 a 9.41);
Máximos e mínimos de funções diferenciáveis, funções convexas (Duistermaat-Kolk – seção 2.9);
Difeomorfismos e o Teorema da Aplicação Inversa (Duistermaat-Kolk – seções 3.1 a 3.3; Elon – seção V.8; Rudin – seção 9.24 e 9.25);
Aplicações implícitas e o Teorema da Aplicação Implícita (Duistermaat-Kolk – seções 3.4 a 3.6; Elon – seções III.9 e V.8; Rudin – seções 9.26 e 9.29);
Hipersuperfícies: formulação paramétrica, gráfica e implícita, multiplicadores de Lagrange, subvariedades de $\mathbb{R}^n$ (Duistermaat-Kolk – seções 4.1, 4.2, 5.4 e 5.5; Elon – seções III.10, e V.10 a V.15; Rudin – seções 9.30 a 9.32).