Bibliografia:
- Jorge Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, 1979;
- Claus I. Doering, Artur O. Lopes, Equações Diferenciais Ordinárias (quarta edição). Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010;
- João C. A. Barata, Notas de Aula – Curso de Física-Matemática (online; capítulos 10, 12, 23 e 24).
Objetivo e recomendações:
O objetivo desta disciplina é introduzir ao aluno de graduação o estudo sistemático de equações diferenciais ordinárias (EDO’s), focalizado em dois aspectos:
- Condições que garantem existência, unicidade e estabilidade de soluções;
- Estrutura qualitativa global do espaço de soluções.
Haverá, portanto, pouca ou nenhuma ênfase em métodos de solução, cujo estudo é o objetivo da disciplina BC0203 – Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias. Urgimos que o aluno atente para essa diferença entre as duas disciplinas, que também se reflete no conhecimento prévio recomendado ao aluno.
Faremos uso extensivo de conceitos de Análise em Rn e Álgebra Linear, revisando rapidamente alguns deles quando necessário.
Avaliação:
- Conceito final = média simples de duas provas (até 80% do conceito final) + listas de exercícios (até 20% do conceito final);
- Dependendo do número de alunos e se houver preferência, as provas poderão ser substituídas por um seminário a ser apresentado pelo aluno no final do quadrimestre (50% do conceito final), com tema a ser escolhido com base na ementa da disciplina. Neste caso, as listas de exercícios serão todas corrigidas e entrarão com 50% do conceito final;
- Datas (provisórias) das provas: 23.3 (P1) e 8.5 (P2).
Listas de exercícios:
Haverá dois tipos de listas de exercícios:
- Aquelas que podem ser resolvidas em casa ou em sala, e devem ser entregues ao professor na data indicada;
- Se houver tempo, listas curtas (com um ou dois exercícios no máximo) que são entregues aos alunos nos últimos 10-15 minutos de algumas aulas e devem ser resolvidas e entregues até o final da mesma aula;
- No caso de as provas serem substituídas por um seminário, as listas do segundo tipo corresponderão a até 10% do conceito final.
Listas de exercícios (o aluno deve entregar no mínimo quatro (4) exercícios da Lista 1 e no mínimo três (3) exercícios da Lista 2, a serem escolhidos livremente. Reitero, contudo, a importância de fazer todos os exercícios da lista, para melhor fixar os conceitos vistos em aula):
Roteiro:
- Definições básicas: EDO’s lineares e não-lineares, autônomas e não-autônomas, interpretação geométrica (campos de vetores e fluxos, retrato de fase);
- Existência e unicidade de soluções: teorema de Picard-Lindelöf e aplicações;
- Sistemas de EDO’s lineares: solução geral (série de Dyson), exponenciação de matrizes e sua forma canônica de Jordan, aplicação na classificação de sistemas bidimensionais e seus respectivos retratos de fase;
- Teoria qualitativa de EDO’s: estrutura local do retrato de fase na vizinhança de pontos regulares (teorema do fluxo tubular) e na vizinhança de pontos fixos hiperbólicos (teorema de Hartman-Grobman – enunciado), estrutura global do retrato de fase em duas dimensões (teorema de Poincaré-Benedixson).