MC1306 (1q’15) – Pedro Lauridsen Ribeiro

Este é o plano de ensino da disciplina MC1306 – Análise no $\mathbb{R}^n$ I, ministrada no primeiro quadrimestre de 2015 para as turmas A – Diurno e A – Noturno (Bacharelado em Matemática – campus Santo André). Aqui encontram-se informações gerais sobre o curso.

(Nota: Todas as datas indicadas abaixo se aplicam a ambas as turmas!)

Novidades:

Notícias recentes sobre o funcionamento do curso serão disponibilizadas aqui.

(8.5.15) Os conceitos finais estão disponíveis (diurno, noturno).
(8.5.15) As notas da Rec e as médias das listas estão disponíveis (diurno).
(5.5.15) Haverá vista de provas hoje (5.5) à tarde, a partir das 14h45, na minha sala.
(5.5.15) As notas da P2 e a versão preliminar dos conceitos finais (sem as notas da Rec e as médias das listas) estão disponíveis (diurno, noturno).
(29.4.15) Os exercícios 17 e 20 a 22 da Lista 2 e o exercício 9 da Lista 3 foram revisados.
(28.4.15) O local da P2 será a sala S501.
(28.4.15) O exercício 24 da Lista 2 sofreu acréscimo de 1 item.
(28.4.15) A Lista 3 foi corrigida e expandida.
(23.4.15) A data da Rec foi marcada para 8.5 (sexta-feira), às 10h00, para ambas as turmas (diurno e noturno), na sala S501.
(23.4.15) A data da P2 foi adiada para 4.5 (segunda-feira), às 10h00, para ambas as turmas (diurno e noturno). O local da prova será divulgado em breve.
(17.4.15) A Lista 3 está disponível.
(17.4.15) O exercício 7 da Lista 2 foi revisado e ampliado.
(16.4.15) Os exercícios 23 e 24 da Lista 2 foram revisados.
(13.4.15) A Lista 2 está disponível.
(7.4.15) As notas da P1 estão disponíveis (diurno, noturno).
(16.3.15) O exercício 22 da Lista 1 foi revisado.
(14.3.15) Os exercícios 15 e 16 da Lista 1 foram revisados, e o exercício 17 foi incorporado ao 16.
(14.3.15) O exercício 23 da Lista 1 foi revisado. Agora ele é estrelado e passou a ser o item (b) do exercício 34. Acrescentado o exercício 28.
(14.3.15) Os exercícios 6 a 8 da Lista 1 foram revisado.
(12.3.15) A matéria da P1 compreende a Lista 1 inteira.
(12.3.15) A Lista 1 foi corrigida e expandida. Os exercícios sobre conexidade (36 a 40) foram ampliados e contam agora com uma introdução autocontida.
(13.2.15) A Lista 1 foi atualizada.
(6.2.15) A Lista 1 está disponível.
(6.2.15) O roteiro foi ligeiramente rearranjado e atualizado com referências ao livro principal do Elon.

Bibliografia:

A lista abaixo indica os textos que seguiremos mais de perto.

Johannes J. Duistermaat, Johan A.C. Kolk, Multidimensional Real Analysis I – Differentiation. Cambridge University Press, 2004;
Elon L. Lima, Curso de Análise – Volume 2 (décima primeira edição). Projeto Euclides, IMPA, 2009;
Walter Rudin, The Principles of Mathematical Analysis (terceira edição). McGraw-Hill, 1976.

Textos suplementares:

Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 2 (segunda edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume II – Second Edition. Wiley, 1969);
Robert G. Bartle, The Elements of Real Analysis (segunda edição). Wiley, 1976;
Elon L. Lima, Análise no Espaço
$\mathbb{R}^n$
(segunda edição). Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010;
Charles C. Pugh, Real Mathematical Analysis. Springer-Verlag, 2002;
Robert S. Strichartz, The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000;
Terence Tao, Analysis II. Hindustan Book Agency, 2006.

Recomendações:

É recomendado que o aluno tenha cursado anteriormente as disciplinas apontadas abaixo, pois será feito uso tácito de vários tópicos apresentados nelas. Indicamos material encontrado em algumas das referências acima para o aluno que sentir necessidade de revisar conceitos vistos nesses cursos.

BC1421 – Análise Real I (Bartle – capítulos 1, 4 e 5; Rudin – capítulos 1, 4 e 5; Strichartz – capítulos 2 a 5);
BC1425 – Álgebra Linear (Apostol – capítulos 1 a 5).

Avaliação:

Média final Mf = no mínimo 90% da média simples Mp de duas provas + no máximo 10% da média Ml das listas de exercícios (ver abaixo).
Critério de conceito final em função da média final Mf : F (Mf < 4,0), D (Mf = 4,0-5,4), C (Mf = 5,5-6,9), B (Mf = 7,0-8,4), A (Mf = 8,5-10,0).
Haverá uma prova substitutiva e uma prova de recuperação no final do curso. O conteúdo de ambas as provas compreenderá toda a matéria.
A prova substitutiva só poderá ser feita por alunos que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva.
A nota da prova substitutiva necessariamente substituirá a menor das notas das duas provas regulares, mesmo que isso resulte na redução da média das provas.
A prova de recuperação deverá ser aplicada pelo menos 72 horas após a divulgação dos conceitos finais, calculados após a aplicação da prova substitutiva (se houver necessidade de aplicar a última). Apenas alunos que ficaram com conceitos finais D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
A nota da prova de recuperação necessariamente substituirá a menor das notas das duas provas válidas para o cálculo da média das provas após a aplicação da prova substitutiva, mesmo que isso resulte na redução da média das provas.
As listas de exercícios referentes ao conteúdo de cada prova serão recolhidas nas aulas que se seguem às respectivas provas, e serão avaliadas segundo o critério acima somente em casos limítrofes de conceito para aprovação. Orientações adicionais sobre a entrega das listas podem ser encontradas no cabeçalho das últimas;
Datas das provas: 17.3 (P1), 4.5 (P2), 8.5 (Rec).

Listas de exercícios:

As listas de exercícios serão disponibilizadas gradativamente.

Roteiro:

Abaixo indicamos brevemente a ordem de tópicos a ser seguida, com indicações das seções correspondentes nos três livros-texto principais listados acima. Esse roteiro poderá sofrer ligeiras modificações e/ou omissões ao longo do curso, na medida do necessário.

Notar que essas seções podem ocasionalmente conter mais material do que será visto em aula – um guia mais preciso do conteúdo será dado pelos exercícios das listas (e, é claro, pelo material apresentado em aula 😉 ).

$\mathbb{R}^n$ como espaço vetorial e como espaço métrico: produto escalar, projeções ortogonais, norma Euclideana e distância Euclideana (Duistermaat-Kolk – seção 1.1; Elon – seções I.1 e I.2; Rudin – seções 1.36 a 1.38);
Topologia de $\mathbb{R}^n$ : pontos de aderência e pontos interiores, abertos e fechados, fecho, interior e fronteira, subconjuntos limitados, pontos de acumulação e pontos isolados, subconjuntos conexos, subconjuntos perfeitos e discretos (Duistermaat-Kolk – seções 1.2, 1.6, 1.8 e 1.9; Elon – seções I.4, I.6, I.10, I.11 e I.14; Rudin – seções 2.15 a 2.30 e 2.43 a 2.47);
Sequências em $\mathbb{R}^n$ : limites e subsequências, sequências limitadas e de Cauchy, completeza de $\mathbb{R}^n$ (Duistermaat-Kolk – seções 1.1 e 1.6; Elon – seção 1.5; Rudin – seções 3.1 a 3.12);
Recobrimentos e compacidade: subconjuntos compactos, o teorema de Heine-Borel-Lebesgue em $\mathbb{R}^n$ (Duistermaat-Kolk – seção 1.8; Elon – seção I.12; Rudin – seções 2.31 a 2.42);
Funções e aplicações em abertos de $\mathbb{R}^n$ e seus limites (Duistermaat-Kolk – seção 1.3; Elon – seção I.9; Rudin – seções 2.1, 2.2 e 4.1 a 4.4);
Aplicações contínuas: formulação local e global, preservação de operações algébricas e de composição, continuidade da inversa e homeomorfismos, aplicações Lipschitzianas, contrações e o teorema de ponto fixo de Banach, preservação de conexidade e compacidade por aplicações contínuas (Duistermaat-Kolk – seções 1.3 a 1.5, e 1.7 a 1.9; Elon – seções I.7, I.8 a I.12, e I.14; Rudin – seção 4.5 a 4.23, 9.22 e 9.23);
Aplicações diferenciáveis: derivada direcional e diferencial de uma aplicação, derivadas parciais, aplicações diferenciáveis e continuamente diferenciáveis, a matriz Jacobiana, linearidade da diferenciação, regra da cadeia (Duistermaat-Kolk – seções 2.1 a 2.6; Elon – seções III.1 a III.6, e V.1 a V.3; Rudin – seções 9.10 a 9.21);
Diferenciação de funções de várias variáveis em ordem superior: a matriz Hessiana, critério de comutatividade de derivadas parciais (teorema de Schwarz), fórmula de Faà di Bruno, fórmula de Taylor para funções de várias variáveis (Duistermaat-Kolk – seções 2.7 e 2.8; Elon – seções III.7, III.8 e V.4; Rudin – seções 9.39 a 9.41);
Máximos e mínimos de funções diferenciáveis, funções convexas (Duistermaat-Kolk – seção 2.9);
Difeomorfismos e o Teorema da Aplicação Inversa (Duistermaat-Kolk – seções 3.1 a 3.3; Elon – seção V.8; Rudin – seção 9.24 e 9.25);
Aplicações implícitas e o Teorema da Aplicação Implícita (Duistermaat-Kolk – seções 3.4 a 3.6; Elon – seções III.9 e V.8; Rudin – seções 9.26 e 9.29);
Hipersuperfícies: formulação paramétrica, gráfica e implícita, multiplicadores de Lagrange, subvariedades de $\mathbb{R}^n$ (Duistermaat-Kolk – seções 4.1, 4.2, 5.4 e 5.5; Elon – seções III.10, e V.10 a V.15; Rudin – seções 9.30 a 9.32).