Plano de ensino – Análise Real I – 1q’25

Esta é a página sobre a disciplina MCBM002 – Análise Real I, ministrada no primeiro quadrimestre de 2025 para a seguinte turma:

A1 – Noturno, campus Santo André – horário: 4as. feiras 19h00-21h00 e 6as. feiras 21h00-23h00, sala A-S301-2-SA.

Aqui encontram-se informações específicas sobre a turma acima.

Aulas

Uma breve descrição do conteúdo apresentado em cada aula está listada abaixo.

(7.3.25) Espaços métricos (iv): pontos isolados e pontos de acumulação de um subconjunto de um espaço métrico – definição, classificação dos pontos do fecho de um subconjunto. Subconjuntos discretos e subconjuntos perfeitos – definição e exemplos. Subconjuntos densos. Compacidade (i): preliminares – recobrimentos, recobrimentos abertos e finitos de um subconjunto de um espaço métrico, subrecobrimentos de um recobrimento. Subconjuntos compactos – definição e propriedades (i) (Rudin: Seções 2.2 e 2.3, páginas 32, 36 e 37).
(28.6.25) Espaços métricos (iii): recapitulação – definição e axiomas de distância, desigualdade triangular reversa (enunciado e prova), bolas abertas, bolas fechadas e esferas num espaço métrico, bolas abertas (resp. fechadas) são abertas (resp. fechadas). O interior (resp. fecho) de um subconjunto é o maior (resp. menor) aberto (resp. fechado) contido em (resp. que contém) esse subconjunto e, equivalentemente, a união (resp. intersecção) dos abertos (resp. fechados) contidos em (res. que contém) esse subconjunto. Subconjuntos não-vazios de um espaço métrico como espaços métricos com a distância induzida: subconjuntos relativamente abertos e relativamente fechados com respeito a um subconjunto não-vazio – definição e caracterização. Interlúdio: o Axioma da Escolha (Rudin: Seção 2.2, páginas 30 a 35, Tao I: Seção 8.4, páginas 198 a 202).
(26.2.25) Espaços métricos (ii): recapitulação – definição e axiomas de distância, bolas abertas, bolas fechadas e esferas num espaço métrico, caracterização das bolas abertas (resp. fechadas) em $\mathbb{R}$ como intervalos abertos (resp. fechados), pontos interiores, exteriores e de fronteira de um subconjunto de um espaço métrico, exterior, interior e fronteira de um subcojunto de um espaço métrico. Subconjuntos não-vazios de um espaço métrico como espaços métricos com a distância induzida. Propriedades do interior e do fecho com respeito a complementos, inclusões, uniões e intersecções. Provando que bolas abertas (resp. fechadas) são abertas (resp. fechadas), desigualdade triangular reversa (enunciado) (Rudin: Seção 2.2, páginas 30 a 35).
(21.2.25) Espaços métricos (i): definição e axiomas de distância, bolas abertas, bolas fechadas e esferas num espaço métrico. $\mathbb{R}$ como espaço métrico: módulo ( = valor absoluto) num corpo ordenado – definição e propriedades, definição da distância em $\mathbb{R}$ em termos do módulo. Interlúdio: intervalos num conjunto ordenado. Caracterização das bolas abertas (resp. fechadas) em $\mathbb{R}$ como intervalos abertos (resp. fechados). Propriedades de espaços métricos (i): posição relativa de um ponto com respeito a um subconjunto – pontos interiores, exteriores e de fronteira, subconjuntos abertos e fechados. Axiomas de topologia para abertos e fechados, leis de de Morgan (Rudin: Seção 2.2, páginas 30 a 35).
(19.2.25) Preliminares (iii): caracterização axiomática dos reais (iii) – cotas superiores e inferiores, supremo e ínfimo de um subconjunto não-vazio de um conjunto ordenado, unicidade do supremo e do ínfimo. Conjuntos ordenados completos, propriedade do supremo e do ínfimo. O efeito da mudança de sinal sobre cotas superiores e inferiores em corpos ordenados, caracterização de corpos ordenados completos pela propriedade do supremo ou do ínfimo. Completeza dos reais como corpo ordenado e suas consequências: propriedade arquimedeana, densidade dos racionais nos reais (Rudin: Seções 1.2 e 1.3, páginas 3 a 9).
(14.2.25) Preliminares (ii): caracterização axiomática dos reais (ii) – recapitulação (estrutura de corpo, estrutura de ordem). Derivação das propriedades da ordem dos reais a partir das propriedades dos reais não-negativos. Inclusão dos naturais, inteiros e racionais nos reais, propriedade arquimedeana dos racionais e dos reais. Módulo ( = valor absoluto) de um número real: definição e propriedades, distância entre reais (estrutura de espaço métrico) (Rudin: seções 1.1 a 1.3, páginas 1 a 8).
(12.2.25) Informações sobre o funcionamento do curso. Análise real como fundamento conceitual do Cálculo diferencial (e integral = assunto de Análise Real II). Preliminares (i): sequências num conjunto – definição, termos de uma sequência, rearranjos e subsequências de uma sequência. Sequências estacionárias, recorrentes e periódicas. Preliminares (ii): caracterização axiomática dos reais (i) – estrutura de corpo, estrutura de ordem. (Rudin: seções 1.1 a 1.3, páginas 1 a 8)

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3a. edição). McGraw-Hill, 1976.
Michael Spivak, Calculus (3a. edição). Publish or Perish, 1994;
Robert S. Strichartz, The Way of Analysis (ed. revisada). Jones and Bartlett, 2000;
Terence Tao, Analysis I, II (3a. edição). Hindustan Book Agency, 2014.

Textos suplementares:

Alfredo J. Aragona, Números Reais. Editora Livraria da Física, 2010;
Djairo G. de Figueiredo, Análise I (2a. edição). LTC Editora Ltda., 1996;
Chaim S. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Editora Livraria da Física, 2011;
Elon L. Lima, Curso de Análise – Volume 1 (11a. edição). Projeto Euclides, IMPA, 2010.

Recomendações e material didático suplementar

Faremos uso tácito dos conceitos vistos nas disciplinas BCN0402 – Funções de uma Variável, BCN0405 – Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias e MCBM007 – Números Reais e Sequências. No caso da última disciplina, conceitos básicos sobre sequências e a caracterização axiomática de $\mathbb{R}$ serão recapitulados brevemente e usados ao longo do curso.

Avaliação

Média preliminar:
M_p = 0,5*(P₁+P₂)
Média final:
M_p = 0,5*max(P₁+P₂, Rec+P₁, Rec+P₂)
Critério de conversão de média preliminar (M_p) / final (M_f) para conceito preliminar (C_p) / final (C_f): C_p (resp. C_f) = F – M_p (resp. M_f) < 4,5;
C_p (resp. C_f) = D – M_p (resp. M_f) = 4,5-5,2;
C_p (resp. C_f) = C – M_p (resp. M_f) = 5,3-6,9;
C_p (resp. C_f) = B – M_p (resp. M_f) = 7,0-8,4;
C_p (resp. Cf) = A – M_p (resp. M_f) = 8,5-10,0.

Haverá uma prova substitutiva e uma prova de recuperação no final do curso. O conteúdo de ambas as provas compreenderá toda a matéria.
A prova substitutiva só poderá ser feita por participantes que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva. Preferencialmente o documento físico original deve ser entregue; se não por possível (e.g. pelo mesmo ser exigido para justificar ausência em provas de outras disciplinas), será aceita uma cópia digitalizada enviada por email mas será exigido nesse caso que @ participante apresente o documento original para conferência dentro do mesmo prazo.
A prova de recuperação será aplicada no início do 2q’25, em data e local a serem divulgados futuramente. Apenas participantes que ficaram com conceitos preliminares D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
Datas das provas:
P1 – 2.4 (terça-feira);
P2 – 9.5 (sexta-feira);
Sub – 16.5 (sexta-feira, se houver necessidade);
Rec – início do segundo quadrimestre de 2025, a divulgar.

Listas de exercícios

A serem disponibilizadas em breve.

É extremamente importante que @s participantes façam todas as listas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!

@s participantes que assim desejarem poderão entregar as suas resoluções das listas correspondentes à matéria de cada prova nas seguintes datas:

P1 – 4.4;
P2 – data da Rec.

Tais listas serão avaliadas nos casos de média final limítrofe para aprovação (ver tabela de conversão de conceitos acima), convertendo-se num bônus de até 1,5 ponto na média final.

Plantão de dúvidas

Haverá um plantão de dúvidas às sextas-feiras das 17h00 às 19h00, na minha sala (A-S543-2, Torre 2, Bloco A, campus Santo André). O plantão terá início no dia 14.2.

Finalmente, o Moodle terá um fórum aberto de perguntas e respostas onde @s participantes poderão tirar suas dúvidas assincronamente com o docente e/ou colegas.

Roteiro

Recapitulação: números reais e sequências, completeza e caracterização do corpo dos números reais.
Espaços métricos e sua topologia.
Limites de funções, funções contínuas.
Subconjuntos conexos, teorema do valor intermediário.
Compacidade, teoremas de Heine-Borel e Bolzano-Weierstrass.
Continuidade uniforme, teorema de Heine-Cantor.
Conjuntos de Cantor.
Diferenciabilidade e derivada.
Propriedades da derivada: teorema do valor médio e suas consequências, derivadas de ordem superior e polinômios de Taylor.
Aplicações da derivada, concavidade e convexidade.