Plano de ensino – FVV – 1q’26 – Pedro Lauridsen Ribeiro

Esta é a página sobre a disciplina BCN0407 – Funções de Várias Variáveis, ministrada no primeiro quadrimestre de 2026 para as seguintes turmas:

A2 – Noturno, campus Santo André – horário: 4as. feiras 19h00-21h00 e 6as. feiras 21h00-23h00, sala A-S208-0-SA.
B1 – Noturno, campus Santo André – horário: 4as. feiras 21h00-23h00 e 6as. feiras 19h00-21h00, sala A-S204-0-SA.

Aqui encontram-se informações específicas sobre as turmas acima – informações gerais sobre o curso podem ser encontradas na página do Gradmat para a disciplina de FVV.

Aulas

Uma breve descrição do conteúdo apresentado em cada aula está listada abaixo.

(25.2.26) Domínios em $\mathbb{R}^n$ (iii): Hiperplanos e semiespaços – semiespaços abertos (resp. fechados) são abertos (resp. fechados), hiperplanos são fechados. Poliedros e retângulos $n$ -dimensionais abertos e fechados. Limites e continuidade (i): preliminares – pontos de acumulação e pontos isolados de um domínio de $\mathbb{R}^n$ . Limites de funções e aplicações num ponto de acumulação do domínio, continuidade de funções e aplicações num ponto do domínio – definição e interpretação. Redução do problema de cálculo de limites de aplicações ao cálculo de limites das suas componentes. (Stewart: Seções 14.1 e 14.2. Apostol: Seções 8.2 e 8.4)
(20.2.26) Domínios em $\mathbb{R}^n$ (ii): recapitulação – pontos interiores, exteriores e de fronteira de um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ , interior, exterior, fronteira e fecho de um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ , subconjuntos abertos e fechados de $\mathbb{R}^n$ : Exemplos de abertos e fechados de $\mathbb{R}^n$ (ii): bolas abertas, bolas fechadas e esferas (conlcusão). O interior (resp. fecho) de um subconjunto $U\subset\mathbb{R}^n$ é o maior (resp. menor) subconjunto de $\mathbb{R}^n$ que está contido em (resp. contém) $U$ , a intersecção (resp união) de interiores (resp. fechos) é o interior (resp. fecho) da interseção (resp. união). Hiperplanos e semiespaços abertos e fechados. (Stewart: Seção 14.1. Apostol: Seções 8.1 e 8.2)
(13.2.26) Domínios em $\mathbb{R}^n$ (i): pontos interiores, exteriores e de fronteira de um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ . Interior, exterior, fronteira e fecho de um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ : definição e propriedades. Subconjuntos abertos e fechados de $\mathbb{R}^n$ : definição e caracterizações alternativas em termos da fronteira. Uniões e intersecções de abertos (resp. fechados) são abertos (resp. fechados). Exemplos de abertos e fechados de $\mathbb{R}^n$ (i): bolas abertas, bolas fechadas e esferas. (Stewart: Seção 14.1. Apostol: Seções 8.1 e 8.2)
(11.2.26) Recapitulação: interlúdio – geometria euclideana de $\mathbb{R}^n$ – operações vetoriais, axiomas de espaço vetorial e suas consequências. produto escalar: definição, notação e nomenclatura, axiomas de produto escalar. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: enunciado e consequências – norma e distância euclideanas, desigualdade triangular, ângulo entre dois vetores não-nulos (“lei dos cossenos”), casos de colinearidade e ortogonalidade, teorema de Pitágoras. Prova da desigualdade de Cauchy-Schwarz. (Stewart: Seções 12.1 a 12.3 e 14.1. Apostol: Seção 8.1)
(6.2.26) Recapitulação: aplicações ( = campos vetoriais) $m$ -dimensionais e funções ( = campos escalares) num domínio $\varnothing\neq U\subset\mathbb{R}^n$ . Gráfico e conjuntos de nível de uma aplicação, curvas (resp. superfícies) de nível de uma função de duas (resp. três) variáveis. Problemas com a terminologia de curvas e superfícies de nível. Interlúdio: geometria euclideana de $\mathbb{R}^n$ – operações vetoriais, axiomas de espaço vetorial e suas consequências. (Stewart: Seções 12.1 a 12.3 e 14.1. Apostol: Seção 8.1)
(4.2.26) Informações sobre o funcionamento do curso. Aplicações de um subconjunto $\varnothing\neq U\subset\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$ ( = aplicações $m$ -dimensionais em $U$ = campos vetoriais $m$ -dimensionais em $U$ ), funções (de $m$ variáveis) em $U$ ( = campos escalares em $U$ , $m=1$ ), componentes de uma aplicação $m$ -dimensional. Gráfico e conjuntos de nível de uma função em $U$ , aplicação de gráfico associada, ilustração gráfica, curvas (resp. superfícies) de nível = conjuntos de nível se $n=2$ (resp. $n=3$ ). Gráfico e conjuntos de nível de uma aplicação $m$ -dimensional em $U$ , representação em termos das conponentes da aplicação. Curvas parametrizadas $m$ -dimensionais ( $n=1$ , $U$ intervalo), imagem de uma curva parametrizada $m$ -dimensional ( = curva $m$ -dimensional). Exemplos de curvas bidimensionais: 1.) gráficos de funções de uma variável – parametrização direta e inversa; 2.) elipses – parametrização por funções trigonométricas (coordenadas polares); 3.) ramos de hipérboles – parametrização (direta) como gráfico, parametrização por funções trigonométricas hiperbólicas. (Stewart – Seções 10.1 e 14.1)

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 2 (2a. edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume II – Second Edition. Wiley, 1969);
Hamilton L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Volumes 2 e 3 (5a. edição). Editora LTC, 2001;
James Stewart, Cálculo, Volume 2 (6a. edição). Cengage Learning, 2012.

Textos suplementares:

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo, Volume II (8a. edição). Bookman, 2007;
J. E. Marsden, A. J. Tromba, Vector Calculus (5a. edição). W. H. Freeman & Co., 2003;
Cláudio M. Mendes (ICMC-USP), Notas de Aula (pdf online) – Funções de Várias Variáveis (2005): Diferenciação, Integração.

Recomendações e material didático suplementar

Faremos uso tácito dos conceitos vistos nas disciplinas BCN0402 – Funções de uma Variável e BCN0404 – Geometria Analítica.

Para auxiliar a visualização de gráficos de funções no estudo individual, recomendamos o software GeoGebra. Outro aplicativo excelente com tal finalidade é o CalcPlot3D – uma ferramenta em Java e Javascript de visualização de gráficos de funções de duas variáveis. Ela permite a visualização de vários conceitos de cálculo diferencial em várias variáveis (curvas de nível, funções implícitas, derivadas parciais, plano tangente, gradiente, campos vetoriais, etc.).

Uma seleção de vídeos para estudo individual pode ser encontrada na página do cronograma unificado do curso de FVV.

Avaliação

Média preliminar:
M_p = 0,3*(P₁+P₂) + 0,4*M_t, onde M_t é a média dos testes online no Moodle (valendo de 0 a 10).
Média final:
M_p = 0,3*max(P₁+P₂, Rec+P₁, Rec+P₂) + 0,4*M_t
Critério de conversão de média preliminar (M_p) / final (M_f) para conceito preliminar (C_p) / final (C_f): C_p (resp. C_f) = F – M_p (resp. M_f) < 4,5;
C_p (resp. C_f) = D – M_p (resp. M_f) = 4,5-5,2;
C_p (resp. C_f) = C – M_p (resp. M_f) = 5,3-6,9;
C_p (resp. C_f) = B – M_p (resp. M_f) = 7,0-8,4;
C_p (resp. Cf) = A – M_p (resp. M_f) = 8,5-10,0.

Haverá uma prova substitutiva e uma prova de recuperação no final do curso. O conteúdo de ambas as provas compreenderá toda a matéria.
A prova substitutiva só poderá ser feita por participantes que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva. Preferencialmente o documento físico original e/ou digital com assinatura digital deve ser entregue; se não por possível (e.g. pelo documento original ser exigido para justificar ausência em provas de outras disciplinas), será aceita uma cópia digitalizada enviada por email mas será exigido nesse caso que @ participante apresente o documento original para conferência dentro do mesmo prazo.
A prova de recuperação será aplicada no início do 2q’26, em data e local a serem divulgados futuramente. Apenas participantes que ficaram com conceitos preliminares D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
Datas das provas:
P1 – 25.3 (quarta-feira);
P2 – 30.4 (quinta-feira);
Sub – 6.5 (quarta-feira, se houver necessidade);
Rec – início do segundo quadrimestre letivo de 2026, a divulgar.
Atenção: Como a data da P2 é destinada à reposição do feriado de 3.4 (Sexta-Feira Santa), essa prova seguirá os horários e locais das aulas no dia da semana em que tenha caído o respectivo feriado sendo reposto (no caso, sexta-feira). Ver calendário de reposição de feriados para mais detalhes.

Listas de exercícios

Lista 0 ( = Lista 9 GA – revisão de círculos, esferas e cônicas);
Lista 1;
Lista 2;
Lista 3;
Lista 4;
Lista 5;
Lista 6;
Lista 7.

É extremamente importante que @s participantes façam todas as listas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!

@s participantes que assim desejarem poderão entregar as suas resoluções das listas correspondentes à matéria de cada prova nas seguintes datas:

P1 – 27.3;
P2 – data da Rec.

Tais listas serão avaliadas nos casos de média final limítrofe para aprovação (ver tabela de conversão de conceitos acima), convertendo-se num bônus de até 1,5 ponto na média final.

Testes online (Moodle)

Haverá quatro (4) testes online na plataforma Moodle. @s participantes deverão receber as informações detalhadas sobre cada teste diretamente nos seus emails institucionais ((at)aluno.ufabc.edu.br), e deverão logar-se na plataforma com seu login e senha institucionais para fazer os testes.

Os exercícios cobertos nos testes online constituem uma seleção mínima de exercícios e não substituem a resolução das listas de exercícios do Gradmat, que são mais abrangentes e completas.

Cronograma de janelas de resolução dos testes:

Teste 1 – 6.3 a 10.3;
Teste 2 – 20.3 a 24.3;
Teste 3 – 10.4 a 14.4;
Teste 4 – 24.4 a 28.4.

Monitoria e plantão de dúvidas

Os atendimentos de monitoria terão início na terça-feira, 10.2.

Plantões de monitoria presenciais (campus Santo André):

Julia Misumi – terças-feiras 14h00-16h00, sala A-S308-2;
Luiza Mazoni – terças-feiras e sextas-feiras 16h00-18h00, sala A-S308-2;
Marcelo de Moura – segundas-feiras 16h00-18h00, sala A-S308-2, quintas-feiras 16h00-18h00, sala A-S302-2;
Milena dos Santos – segundas-feiras 16h00-18h00, sala A-S308-2, quintas-feiras 14h00-16h00, sala A-S302-2;
Patrícia Perroud – quartas-feiras 16h00-18h00, sala A-S308-2;
Samuel Falcão – segundas-feiras e quartas-feiras 16h00-18h00, sala A-S308-2;
Vitor Souza – segundas-feiras 17h00-19h00, sala A-S308-2, quintas-feiras 18h00-20h00, sala A-S302-2.

Plantões de monitoria remota síncrona no grupo de monitoria de FVV no Discord (por razões de segurança, o acesso ao link do grupo deve ser feito pelo plano de ensino no Moodle):

Heitor Ferreira – quartas-feiras 15h00-17h00;
Julia Misumi – segundas-feiras 13h00-15h00;
Luiza Mazoni – quartas-feiras 14h00-16h00;
Marcelo de Moura – quartas-feiras 15h00-17h00;
Milena dos Santos – sextas-feiras 13h00-15h00;
Patrícia Perroud – terças-feiras 16h30-18h30;
Samuel Falcão – sextas-feiras 15h00-17h00;
Vitor Souza – terças-feiras 12h00-14h00.

Estão previstas no plano de trabalho dos monitores cinco (5) aulas de exercícios ao longo do quadrimestre letivo. Seguem abaixo as datas, horários e locais, que serão divulgadas gradativamente.

Quinta-feira, 26.2, 16h00-18h00, sala A-S101-0 (monitor: Marcelo de Moura);
Quarta-feira, 11.3, 12h00-14h00, sala A-S101-0 (monitor: Samuel Falcão).

Haverá também um plantão de dúvidas às quintas-feiras das 18h00 às 20h00, na minha sala (A-S543-2, Torre 2, Bloco A, campus Santo André). O plantão terá início no dia 5.2.

Finalmente, o Moodle terá um fórum aberto de perguntas e respostas onde @s participantes poderão tirar suas dúvidas assincronamente com o docente e/ou colegas.

Roteiro

Seguiremos de maneira aproximada o cronograma unificado do curso de FVV, com algumas modificações a serem indicadas quando necessário.

Curvas e parametrização de curvas.
Funções de várias variáveis: domínios, conjuntos de nível (curvas, superfícies) e esboço de gráficos.
Limites e continuidade de funções de várias variáveis.
Derivadas parciais, diferenciabilidade e derivada direcional. Regra da cadeia.
Funções implícitas.
Máximos e mínimos, multiplicadores de Lagrange.
Integrais duplas e triplas, mudança de variáveis.
Integração em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Aplicações no cálculo de áreas e volumes.