MCTB010 – 1q’20 – Aula 10 (22.4.20)

Teorema do Núcleo e da Imagem (prova). Determinantes, formas de volume e
$p$ -formas

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Teorema do Núcleo e da Imagem

Recapitularemos em breve o contexto da aula 9. Sejam $V,W$ espaços vetoriais (reais), e $T:V\To W$ uma transformação linear (t.l.) de $V$ em $W$ , ou seja, dados vetores $\vx,\vx'$ em $V$ e um escalar $\alpha\in\RR$ quaisquer, temos que

$T(\vx+\vx')=T\vx+T\vx'$ ;
$T(\alpha\vx)=\alpha T\vx$ ,

(lembrar que escrevemos $T(\vx)=T\vx$ se $T$ é uma t.l.) de modo que se $\vx=\sum^k_{j=1}\alpha_j\vx_j$ é uma combinação linear (c.l.) de vetores $\vx)_j\in V$ com coeficientes $\alpha_j\in\RR$ , $j=1,\ldots,k$ , então

$T\left(\sum^k_{j=1}\alpha_j\vx_j\right)=\sum^k_{j=1}\alpha_j T\vx_j\ .$

(ver o início da aula 3 para a definição do símbolo de somatória num espaço vetorial) Sendo $T$ uma aplicação de $V$ em $W$ , podemos definir, dados $S\subset V$ , $\tilde{S}\subset W$ , a imagem de $S$ por $T$

$T(S)=\{\vy=T\vx\ |\ \vx\in S\}$

e a imagem inversa de $\tilde{S}$ por $T$

$T^{-1}(\tilde{S})=\{\vx\in V\ |\ T\vx\in\tilde{S}\}\ .$

Em particular, se $S=\{\vx\}$ , escrevemos $T^{-1}(S)=T^{-1}(\{\vx\})=T^{-1}(\vx)$ .

Cabe aqui uma observação sobre a notação empregada: notar que $T$ não precisa ser invertível para definirmos imagens inversas, pois $T^{-1}(S)$ e, em particular, $T^{-1}(\vx)$ denotam subconjuntos de $V$ , não vetores. Assim, $T^{-1}(\vx)$ pode ser vazio (nesse caso, $T$ não pode ser sobrejetora) ou ter mais de um vetor (nesse caso, $T$ não pode ser injetora). Somente no caso em que $T$ é bijetora (i.e. iinvertível) é que $T^{-1}(\vx)$ é unitário para todo $\vx\in V$ e portanto pode ser identificado com seu único elemento, definindo assim a inversa $T^{-1}$ de $T$ .

Segue dessas definições que

$\begin{split} T(L(S)) &=\left\{\vy=T\left(\sum^k_{j=1}\alpha_j\vx_j\right)\ \bigg|\ \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\RR\ ,\, \vx_1,\ldots,\vx_j\in S\right\}\\ &=\left\{\vy=\sum^k_{j=1}\alpha_jT\vx_j\ \bigg|\ \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\RR\ ,\,\vx_1,\ldots,\vx_j\in S\right\}\\ &=L(T(S)) \end{split}$

— em particular, a imagem

$\Im(T)=T(V)$

de $T$ é subespaço vetorial de $W$ – e que o núcleo

$\ker(T)=T^{-1}(\og)$

de $T$ é subespaço vetorial de $V$ : se $\vx,\vx'\in\ker(T)$ e $\alpha\in\RR$ quaisquer, então

$T(\vx+\vx')=T\vx+T\vx'=\og+\og=\og$

$T(\alpha\vx)=\alpha T\vx=\alpha\og=\og\ ,$

portanto $\vx+\vx',\alpha\vx\in\ker(T)$ .

Por definição, $T$ é sobrejetora se e somente se

$\Im(T)=W\ .$

Além disso, $T$ é injetora se e somente se

$\ker(T)=\{\og\}\ .$

De fato, se $\ker(T)=\{\og\}$ e $\vx,\vx'\in V$ satisfazem $T\vx=T\vx'$ , temos que $T\vx-T\vx'=T(\vx-\vx')=\og$ e portanto $\vx-\vx'=\og$ . Conversamente, temos que se $T\vx=\og$ então $T(\vx+\vx')=T\vx+T\vx'=T\vx'$ para todo $\vx'\in V$ . Logo, se $T$ é injetora, nesse caso $\vx=\og$ . A sobrejetividade e a injetividade de uma t.l. $T:V\To W$ podem ser expressas em termos de sua ação sobre (certos) subconjuntos l.i. $S\subset V$ :

$T$ é sobrejetora se e somente se, dada uma base $S$ qualquer de $V$ , temos que $L(T(S))=\Im(T)=W$ . (a primeira identidade segue do cálculo acima, e a segunda identidade é a definição da sobrejetividade de $T$ )
$T$ é injetora se e somente se, dado um subconjunto l.i. $S\subset V$ qualquer, temos que $T(S)$ \emph{também é l.i.}. (suponha que $T(S)$ é l.i. para todo $S\subset V$ l.i., então $T\vx\neq\og$ se $\vx\neq\og$ e portanto $T$ é injetora. Conversamente, se $T$ é injetora e $\vx_1,\ldots,\vx_k$ são l.i., sejam $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\RR$ tais que $\sum^k_{j=1}\alpha_kT(\vx_k)=\og=T\left(\sum^k_{j=1}\alpha_j\vx_j\right)$ . Então $\sum^k_{j=1}\alpha_j\vx_j=\og$ e portanto $\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$ , logo $T(\vx_1),\ldots,T(\vx_k)$ são l.i.)

Em particular, $T$ é bijetora se e somente se $T(S)$ é base de $W$ para toda base $S$ de $V$ . Em outras palavras, o exemplo típico de t.l.’s bijetoras ocorre ao efetuarmos uma mudança de base. Se $V$ tem dimensão finita, ambos os fatos acima são casos particulares de um resultado geral, conhecido como Teorema do Núcleo e da Imagem. Dados espaços vetoriais (reais) $V,W$ e $T\in L(V,W)$ , o posto (“rank” em inglês) $R(T)$ de $T$ é dado por

$R(T)=\dim(\Im(T))\ ,$

e a nulidade $N(T)$ de $T$ por

$N(T)=\dim(\ker(T))\ .$

Obviamente $R(T),N(T)\leq\dim(V)$ pois $L(T(S))=\Im(T)$ se $S$ é base de $V$ e $\ker(T)$ é subespaço vetorial de $V$ .

Teorema do Núcleo e da Imagem. Sejam $V,W$ espaços vetoriais (reais), $n=\dim(V)<\infty$ , e $T\in L(V,W)$ . Então

$N(T)+R(T)=\dim(V)=n\ .$

Prova. Definamos $k=N(T)$ , $l=R(T)$ . Sejam $S_0=\{\ve_1,\ldots,\ve_k\}$ uma base de $\ker(T)$ e $\tilde{S}_1=\{\vf_1,\ldots,\vf_l\}$ uma base de $\Im(T)$ , de modo que $\vf_i=T\ve_{k+i}$ para algum $\ve_{k+i}\in V$ , $i=1,\ldots,l$ . Obviamente $\ve_{k+i}\not\in\ker(T)$ para todo $i=1,\ldots,l$ ; mostraremos agora que definindo $S_1=\{\ve_{k+1},\ldots,\ve_{k+l}\}$ , temos que $S=S_0\cup S_1=\{\ve_1,\ldots,\ve_{k+l}\}$ é base de $V$ . Primeiramente, notar que $S$ é l.i.: dados $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k+l}\in\RR$ tais que $\sum^{k+l}_{j=1}\alpha_j\ve_j=\og$ , temos que

$T\left(\sum^{k+l}_{j=1}\alpha_j\ve_j\right)=\og=\sum^{k+l}_{j=1}\alpha_jT\ve_j=\sum^l_{i=1}\alpha_{k+i}\vf_i$

e portanto $\alpha_{k+1}=\cdots=\alpha_{k+l}=0$ pois $\tilde{S}_1$ é l.i.. Logo, $\sum^k_{j=1}\alpha_j\ve_j=\og$ e portanto $\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$ pois $S_0$ é l.i.. Falta apenas concluir que $L(S)=V$ — para tal, notar que dado $\vx\in V$ , podemos escrever

$T\vx=\sum^l_{i=1}x_{k+i}\vf_i=\sum^l_{i=1}x_{k+i} T\ve_{k+i}=T\left(\sum^l_{i=1}x_{k+i}\ve_{k+i}\right)$

para uma (única) escolha de $x_{k+1},\ldots,x_{k+l}\in\RR$ . Defina

$\vx_1=\sum^l_{i=1}x_{k+i}\ve_{k+i}\ ,\,\vx_0=\vx-\vx_1\ .$

Segue que $T\vx=T\vx_1$ e portanto $\vx_0\in\ker(T)$ , pois

$T\vx_1=\sum^l_{i=1}x_{k+i}\vf_1=T\vx\ ,\,T\vx_0=T(\vx-\vx_1)=T\vx-T\vx=\og\ ,$

logo podemos escrever $\vx_0=\sum^k_{j=1}x_j\ve_j$ para uma (única) escolha de $x_1,\ldots,x_k\in\RR$ e portanto $\vx=\sum^{k+l}_{j=1}x_j\ve_j$ , como desejado. $\Box$

O Teorema do Núcleo e da Imagem possui várias consequências. No que se segue, $V,W$ são espaços vetoriais (reais) com $\dim(V)<\infty$ .

$T\in L(V,W)$ é sobrejetora se e somente se $N(T)=\dim(V)-\dim(W)$ . Em particular, $T$ não pode ser sobrejetora se $\dim(W)>\dim(V)$ .
$T\in L(V,W)$ é injetora se e somente se $R(T)=\dim(V)$ .
$T\in L(V,W)$ é bijetora se e somente se $\dim(\Im(T))=\dim(V)=\dim(W)$ .
Se $T\in V'$ , então $\dim(\ker(T))=\dim(V)-1$ ou $\dim(V)$ , e o último caso ocorre se e somente se $T=0$ .

O fato (iv) acima fornece uma maneira alternativa de obter o Lema de Riesz:

Lema de Riesz. Seja $V$ um espaço vetorial (real), $\dim(V)<\infty$ . Dado $T\in V'$ , existe um único vetor $\vx_T\in V$ tal que $T\vx=\spr{\vx_T,\vx}$ para todo $\vx\in V$ – a saber,

$\vx_T=\begin{cases} \og & (T=0) \\ \frac{T\vz_T}{\|\vz_T\|^2}\vz_T &(T\neq 0) \end{cases}\ ,$

onde $\og\neq\vz_T$ é um vetor ortogonal a $\ker(T)$ (notar que, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, $\vz_T$ é único a menos de um múltiplo escalar).
Prova. Comecemos com a questão da unicidade. Se $\vz,\vz'\in V$ são tais que $T\vx=\spr{\vz,\vx}=\spr{\vz',\vx}$ para todo $\vx\in V$ , então

$\spr{\vz-\vz',\vx}=T\vx-T\vx=0$

para todo $\vx\in V$ . Em particular, tomando $\vx=\vz-\vz'$ obtemos $\|\vz-\vz'\|^2=0$ e portanto $\vz=\vz'$ . Passando agora à questão da existência, se $T=0$ obviamente não há outra escolha para $\vx_T$ a não ser $\vx_T=\og$ . Se $T\neq 0$ , seja $\vz\in T$ tal que $T\vz\neq\og$ . Podemos então construir uma base o.n. $S_0=\{\ve_1,\ldots,\ve_{n-1}\}$ de $\ker(T)$ e portanto a projeção ortogonal $P_{\ker(T)}$ sobre $\ker(T)$ . De maneira similar à adotada na ortonormalização de Gram-Schmidt, defina

$\vz_T=\vz-P_{\ker(T)}\vz\ ,\,\ve_n=\frac{1}{\|\vz_T\|}\vz_T\ ,$

de modo que $S=\{\ve_1,\ldots,\ve_n\}$ é base o.n. de $V$ . Mostraremos agora que se $\vx_T$ tem as propriedades listadas no enunciado do Lema de Riesz, então

$\vx_T=(T\ve_n)\ve_n=\frac{T\vx_T}{\|\vz_T\|^2}\vz_T\ .$

De fato, dado $\vx\in V$ qualquer, podemos escrever

$\vx=P_{\ker(T)}\vx+(\vx-P_{\ker(T)}\vx)\ ,\quad\vx-P_{\ker(T)}\vx=\spr{\ve_n,\vx}\ve_n$

e portanto

$T\vx=TP_{\ker(T)}\vx +\spr{\ve_n,\vx}T\ve_n=\spr{(T\ve_n)\ve_n,\vx}\ ,$

como desejado. $\Box$

Notar que $\vx_{T_1+T_2}=\vx_{T_1}+\vx_{T_2}$ e $\vx_{\alpha T}=\alpha\vx_T$ para $T_1,T_2\in V'$ , $\alpha\in\RR$ quaisquer. Vamos agora estabelecer a relação da fórmula obtida no Lema de Riesz com a fórmula que já tínhamos obtido anteriormente: se $T\in V'$ e $S=\{\ve_1,\ldots,\ve_n\}$ é uma base o.n. de $V$ , então

$\begin{split} V\ni\vx &=\sum^n_{j=1}x_j\ve_j\ \Then\ T\vx=\sum^n_{j=1}x_j T\ve_j=\spr{\vx_T,\vx}\\ \Then\ \vx_T &=\sum^n_{j=1}(T\ve_j)\ve_j\ . \end{split}$

Em particular, $\vx_T$ é ortogonal a $\ker(T)$ e

$T\vx_T=\sum^n_{j=1}(T\ve_j)^2=\|\vx_T\|^2\ ,$

logo $T\vx_T=\og$ se e somente se $T=0$ .

Aproveitamos o momento para introduzir uma notação alternativa para $\vx_T$ , que será a notação padrão daqui em diante. Dados $\vx\in V$ , $T\in V'$ , definimos $\vx^\flat\in V'$ , $T^\sharp\in V$ como

$\vx^\flat(\vx')=\spr{\vx,\vx'}\ (\vx'\in V)\ ,\quad T^\sharp=\vx_T\ .$

Fica claro que $(\vx^\flat)^\sharp=\vx$ e $(T^\sharp)^\flat=T$ para $\vx\in V$ , $T\in V'$ quaisquer. Além disso, as aplicações $V\ni\vx\mapsto\vx^\flat\in V'$ e $V'\ni T\mapsto T^\sharp\in V$ são t.l.’s (exercício: verifique!), portanto denotar-las-emos por isomorfismos musicais.

Próxima aula

Na próxima aula começaremos a falar de determinantes, formas de volume e $p$ -formas, partindo da motivação dada pela área de paralelogramos.

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