Plano de ensino – AlgLin – 3q’26 – Pedro Lauridsen Ribeiro

Descrição visual da pseudoinversa de Moore-Penrose de uma transformação linear.

Esta é a página sobre a disciplina MCTB001 – Álgebra Linear, ministrada no terceiro quadrimestre de 2026 para a turma A1 Noturno – campus São Bernardo do Campo, nos seguintes horários:

3as. feiras 19h00-21h00, sala Tau-S206;

5as. feiras 21h00-23h00, sala Tau-S305;
6as. feiras 19h00-21h00, sala Tau-S305.

Aqui encontram-se informações específicas sobre a turma acima.

Aulas

Uma breve descrição do conteúdo apresentado em cada aula está listada abaixo.

Aula 14 – 20.10.26 – Produtos escalares (i): motivação – o produto escalar canônico de $\mathbb{R}^n$ e axiomas de produto escalar real, o produto escalar canônico de $\mathbb{C}^n$ e axiomas de produto escalar complexo. Definição axiomática de produto escalar ( = produto interno) num espaço vetorial sobre $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , diferenças entre os casos real e complexo, consequências básicas. (páginas 37 e 38 das notas de aula)
Aula 13 – 16.10.26 – Bases de um espaço vetorial (iii): recapitulação – definição. O caso de bases finitas: resultados fundamentais (ii) – quaisquer $n+1$ vetores no subespaço gerado por um subconjunto l.i. com $n$ vetores são l.d., acrescentar a um subconjunto l.i. um vetor fora do subespaço gerado por esse subconjunto preserva independência linear. Consequência: se um espaço vetorial $V$ admite uma base finita $S\subset V$ , então todas as bases de $V$ tem o mesmo número de vetores que $S$ . Espaços vetoriais de dimensão finita e infinita (recapitulação), dimensão de um espaço vetorial: definição, dimensões real e complexa de um espaço vetorial complexo, critério dimensional para bases finitas (um subconjunto l.i. $S\subset V$ de um espaço vetorial $V$ com $\dim(V)=n$ é base de $V$ $\Leftrightarrow$ $S$ tem $|S|=n$ vetores) e infinitas (se $V$ admite um subconjunto l.i. infinito então $\dim(V)=\infty$ ). Exemplos: (1.) $\dim(\mathbb{K}^n)=n$ ; (2.) $\mathbb{K}^A$ tem dimensão finita se e somente se $A\neq\varnothing$ for finito; (3.) o espaço vetorial das funções contínuas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ tem dimensão infinita. Dimensão de subespaços vetoriais. Algoritmo de construção de bases finitas, bases (finitas) adaptadas a um subespaço vetorial. (páginas 30 a 35 das notas de aula)
Aula 12 – 15.10.26 – Bases de um espaço vetorial (ii): recapitulação – definição, componentes de um vetor ao longo de um elemento de uma base como um “sistema de coordenadas lineares”, identificação de um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{K}$ com $F_0(S,\mathbb{K})$ = espaço vetorial das funções de $S$ em $\mathbb{K}$ que se anulam fora de um subconjunto finito de $S$ se $\varnothing\neq S\subset V$ é base de $V$ . Base real $S\cup iS$ associada a uma base (complexa) $S\subset V$ de um espaço vetorial complexo $V$ . O caso de bases finitas: resultados fundamentais (i) – quaisquer $n+1$ vetores no subespaço gerado por um subconjunto l.i. com $n$ vetores são l.d.. (páginas 28 a 32 das notas de aula)
Aula 11 – 13.10.26 – O subespaço (vetorial) gerado por ( = varredura (span) linear de) um subconjunto de um espaço vetorial (ii): recapitulação – definição, propriedade de subespaço vetorial. O subespaço (vetorial) real (resp. complexo) gerado por um subconjunto de um espaço vetorial complexo. Bases de um espaço vetorial: definição, componentes de um vetor ao longo de um elemento de uma base como um “sistema de coordenadas lineares”. Exemplos e contraexemplos de bases: 1.) a base canônica de $\mathbb{R}^n$ ; 2.) um subconjunto l.i. infinito de $\mathbb{R}^A$ que não é uma base ( $A$ infinito). Identificação de um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{K}$ com o (sub)espaço vetorial $F_0(S,\mathbb{K})\subset\mathbb{K}^A$ das funções de $S$ em $\mathbb{K}$ que se anulam fora de um subconjunto finito de $S$ . Espaços vetoriais de dimensão finita e infinita, dimensão de um espaço vetorial: definição e enunciado de propriedades. (páginas 28 a 31 e 33 das notas de aula)
Aula 10 – 9.10.26 – Subconjuntos linearmente dependentes e linearmente independentes (ii): definição, propriedades e exemplos, o caso de subconjuntos finitos. O efeito da escolha de corpo de escalares sobre a (in)dependência linear de subconjuntos de um espaço vetorial complexo – um exemplo genérico. O subespaço (vetorial) gerado por ( = varredura (span) linear de) um subconjunto de um espaço vetorial (i): definição, propriedade de subespaço vetorial. (páginas 26 a 29 das notas de aula)
Aula 9 – 8.10.26 – Combinações lineares e (in)dependência linear (ii): recapitulação – definição, combinações lineares triviais e não-triviais. (In)dependência linear de listas finitas de vetores: definição e interpretação como (falta de) ambiguidade na escolha de “coordenadas lineares” e (im)possibilidade de expressar um vetor da lista como combinação linear dos demais. Subconjuntos linearmente dependentes e linearmente independentes (i): definição e propriedades. (páginas 23 a 26 das notas de aula)
Aula 8 – 6.10.26 – Somatórias num espaço vetorial (ii): definição, somatória de uma lista de vetores indexada por um conjunto finito, propriedades. Combinações lineares e (in)dependência linear (i): definições, combinações lineares triviais e não-triviais. (páginas 20 a 23 das notas de aula)
Aula 7 – 2.10.26 – Subespaços vetoriais (iii): recapitulação – definição, exemplos de subespaços vetoriais reais (ii): espaço de polinômios com coeficientes reais, espaços de funções contínuas e deriváveis. Exemplos e contraexemplos de subespaços vetoriais complexos. Subespaços vetoriais reais de espaços vetoriais complexos, o exemplo $\mathbb{R}^n\subset\mathbb{C}^n$ . Construções com subespaços vetoriais: intersecção e soma de subespaços vetoriais. Somatórias num espaço vetorial (i): definição. (páginas 15 a 20 das notas de aula)
Aula 6 – 1.10.26 – Subespaços vetoriais (ii): definição, exemplos (resp. contraexemplos) de subespaços vetoriais reais (i): subespaço trivial, espaço de soluções de um sistema linear homogêneo (resp. não-homogêneo), espaço de polinômios de grau $\leq n$ (resp. $n$ ) com coeficientes reais. (páginas 15 a 18 das notas de aula)
Aula 5 – 29.9.26 – Espaços vetoriais sobre um corpo de escalares $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ (espaços vetoriais reais) ou $\mathbb{C}$ (espaços vetoriais complexos) (iii): exemplos de espaços vetoriais (ii): 2.) espaço $\mathbb{R}^A$ das funções de $A\neq\varnothing$ a valores reais – $\mathbb{R}^n$ como caso particular ( $A=\{1,\ldots,n\}$ ), verificação dos axiomas de espaço vetorial (real) em termos dos axiomas respectivos no contradomínio comum ( = $\mathbb{R}$ munido da soma e produto usuais); 3.) espaço $W^A$ de funções de $A\neq\varnothing$ a valores num espaço vetorial (real) $W$ ; 4.) espaço de matrizes com $m$ linhas e $n$ colunas – identificação com $\mathbb{R}^{mn}$ e com $(\mathbb{R}^m)^n$ . Versões complexas dos exemplos 1.)-4.). Subespaços vetoriais (i): definição. (páginas 12 a 16 das notas de aula)
Aula 4 – 25.9.26 – Espaços vetoriais sobre um corpo de escalares $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ (espaços vetoriais reais) ou $\mathbb{C}$ (espaços vetoriais complexos) (ii): recapitulação – axiomas de espaço vetorial e suas consequências. Exemplos de espaços vetoriais (i): 1.) $V=\mathbb{R}^n$ (em particular, $n=1\Rightarrow\mathbb{R}$ como espaço vetorial); 2.) espaços de funções a valores reais, $\mathbb{R}^n$ como caso particular; 3.) espaços de funções a valores num espaço vetorial. (páginas 8 a 14 das notas de aula)
Aula 3 – 18.9.26 – Espaços vetoriais sobre um corpo de escalares $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ (espaços vetoriais reais) ou $\mathbb{C}$ (espaços vetoriais complexos) (ii): definição e axiomas, escalares e vetores. Consequências simples dos axiomas, analogias e diferenças das operações vetoriais com a soma e o produto de escalares. (páginas 8 a 12 das notas de aula)
Aula 2 – 17.9.26 – Origem geométrica das operações vetoriais (ii): recapitulação – espaços afins e função deslocamento: definição e propriedades. Definição da soma vetorial e derivação de suas propriedades (comutatividade, associatividade, elemento neutro e oposto). Escalares como fatores de escala para vetores de deslocamento e multiplicação escalar: definição para escalares naturais, inteiros e racionais, propriedades (distributividade com respeito às somas escalar e vetorial, associatividade, elemento neutro). Espaços vetoriais sobre um corpo de escalares $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (i): definição e axiomas. (páginas 1 a 9 das notas de aula)
Aula 1 – 15.9.26 – Informações sobre o funcionamento do curso. Motivação: o que são espaços vetoriais e qual a sua importância? Origem geométrica das operações vetoriais (i): vetores de deslocamento num espaço de pontos (espaço afim), definição da soma vetorial, enunciado e prova dos axiomas da soma vetorial (comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e existência de oposto). (páginas 1 a 4 das notas de aula)

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 2 (2a. edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume II – Second Edition. Wiley, 1969).
Notas de aula serão disponibilizadas aqui à medida que o conteúdo for apresentado (versão atual: 10.10.26)

A lista abaixo indica textos suplementares que podem ser de utilidade para o aluno.

Notas de aulas do Prof. Jerônimo C. Pellegrini (atualizadas periodicamente).
Howard Anton, Chris Rorres, Álgebra Linear com Aplicações (décima edição). Bookman, 2012 (original em inglês: Linear Algebra with Applications – 9th Edition. Wiley, 2005).
Sheldon J. Axler, Linear Algebra Done Right (4a. edição). Springer, 2026. Disponibilizado com acesso aberto em PDF pelo autor.
G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5a. edição). Wellesley Cambridge Press, 2016.

Recomendações e material didático suplementar

É recomendado que o aluno tenha cursado anteriormente a disciplina BCN0404 – Geometria Analítica. Ocasionalmente, conceitos básicos da disciplina BCN0402 – Funções de Uma Variável – e.g. cálculo de integrais simples – podem ser empregados em exemplos.

Material suplementar – cursos online, vídeos:

MIT OpenCourseWare – 18.06SC Linear Algebra (Fall 2011) – Prof. Gilbert Strang
MIT OpenCourseWare – 18.065 Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning (Spring 2018) – Prof. Gilbert Strang
MIT OpenCourseWare – RES.18-010 A 2020 Vision of Linear Algebra (Spring 2020) – Prof. Gilbert Strang
YouTube – Canal 3Blue1Brown – The essence of linear algebra (16 vídeos)

Os cursos do Prof. Gilbert Strang no MIT são famosos pela abordagem inovadora, motivada por aplicações modernas da Álgebra Linear (representação e análise de dados, aprendizado de máquina, etc.) e que pode ser vista como complementar ao ponto de vista adotado neste curso, embora com vários pontos em comum. A série de vídeos The essence of linear algebra do canal 3Blue1Brown do YouTube, por sua vez, busca trazer uma compreensão visual intuitiva dos conceitos básicos do assunto.

Avaliação

Média preliminar:
M_p = 0,3*(P₁+P₂) + 0,4*M_t, onde M_t é a média dos testes online no Moodle (valendo de 0 a 10).
Média final:
M_p = 0,3*max(P₁+P₂, Rec+P₁, Rec+P₂) + 0,4*M_t
Critério de conversão de média preliminar (M_p) / final (M_f) para conceito preliminar (C_p) / final (C_f): C_p (resp. C_f) = F – M_p (resp. M_f) < 4,5;
C_p (resp. C_f) = D – M_p (resp. M_f) = 4,5-5,2;
C_p (resp. C_f) = C – M_p (resp. M_f) = 5,3-6,9;
C_p (resp. C_f) = B – M_p (resp. M_f) = 7,0-8,4;
C_p (resp. Cf) = A – M_p (resp. M_f) = 8,5-10,0.
A prova substitutiva só poderá ser feita por participantes que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva, segundo os critérios descritos na Resolução ConsEPE no. 227. A solicitação de prova substitutiva deverá ser feita por e-mail, em até 24 horas após a prova perdida. Preferencialmente o documento físico original deve ser entregue; se não por possível (e.g. pelo mesmo ser exigido para justificar ausência em provas de outras disciplinas), será aceita uma cópia digitalizada enviada por email mas será exigido nesse caso que @ participante apresente o documento original para conferência dentro do mesmo prazo.
A prova de recuperação será aplicada no início do 1q’27, no mesmo formato que a P₁ e a P₂ mas que cobrirá o conteúdo do curso inteiro. Apenas participantes que ficaram com conceitos preliminares D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
Datas das provas:

P1 – 30.10 (sexta-feira);
P2 – 4.12 (sexta-feira);
Sub – 11.12 (sexta-feira, se houver necessidade);
Rec – início do primeiro quadrimestre de 2027, a divulgar.

Listas de exercícios

É extremamente importante que @s participantes façam todas as listas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!

@s participantes que assim desejarem poderão entregar as suas resoluções das listas correspondentes à matéria de cada prova nas seguintes datas:

P1 – 3.11;
P2 – data da Rec.

Tais listas serão avaliadas nos casos de média final limítrofe para aprovação (ver tabela de conversão de conceitos acima), convertendo-se num bônus de até 1,5 ponto na média final. As resoluções das listas precisam ser manuscritas (a caneta ou lápis) e entregues no papel. Versões digitais ou feitas em tablet não serão aceitas, não envie nada por email!

Testes online (Moodle)

Haverá quatro (4) testes online na plataforma Moodle. @s participantes deverão receber as informações detalhadas sobre cada teste diretamente nos seus emails institucionais ((at)aluno.ufabc.edu.br), e deverão logar-se na plataforma com seu login e senha institucionais para fazer os testes.

Os exercícios cobertos nos testes online constituem uma seleção mínima de exercícios e não substituem no estudo individual a resolução das listas de exercícios acima, que são mais abrangentes e completas.

Cronograma de janelas de resolução dos testes:

Teste 1 – 15.10 a 19.10;
Teste 2 – 24.10 a 28.10;
Teste 3 – 14.11 a 18.11;
Teste 4 – 28.11 a 2.12.

Monitoria, atendimento online e plantão de dúvidas

A partir de terça-feira, 15.9 haverá monitoria presencial nas seguintes datas e horários:

Bernardo Baeta Coutinho – 2as. e 3as. feiras, 18h00-19h00, 4as. feiras, 17h00-18h00 e 5as. feiras, 16h00-18h00, sala Tau-S304 (campus SBC).

Os monitores também farão atendimento online assíncrono no Discord, que terá início na mesma data que os plantões presenciais.

Haverá também um plantão de dúvidas às quartas-feiras das 18h00 às 21h00, na sala de reuniões do CMCC do campus SBC (Delta-S265, 2o. andar, Bloco Delta, campus São Bernardo do Campo). O plantão terá início no dia 16.9.

Finalmente, o Moodle terá um fórum aberto de perguntas e respostas onde @s participantes poderão tirar suas dúvidas assincronamente com o docente e/ou colegas.

Roteiro

Seguiremos de maneira aproximada o cronograma sugerido para o curso de AlgLin pelo Gradmat, com algumas modificações na ordem e na ênfase – para uma descrição mais detalhada dos tópicos de cada aula, confira a lista das aulas. Uma descrição sucinta dos tópicos do curso na ordem a ser seguida pode ser vista abaixo.

Espaços vetoriais: motivação, definição e exemplos (Anton-Rorres: seção 5.1; Apostol: seções 1.1 a 1.5; notas do Pellegrini: seção 1.4).
Subespaços vetoriais: definição e exemplos (Anton-Rorres: seção 5.2; Apostol: seção 1.6; notas do Pellegrini: seção 1.5).
Combinações lineares, dependência linear e independência linear. Subespaços vetoriais gerados por um conjunto de vetores (Anton-Rorres: seções 5.2 e 5.3; Apostol: seções 1.6 e 1.7; notas do Pellegrini: seção 2.1).
Bases e dimensão de um (sub)espaço vetorial, componentes de um vetor numa base. Mudança de base (Anton-Rorres: seção 5.4; Apostol: seções 1.8 a 1.10; notas do Pellegrini: seções 2.2 e 2.4).
Produtos escalares: definição e propriedades. Geometria do produto escalar: a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Projeções ortogonais, bases ortogonais e ortonormais. Ortonormalização de Gram-Schmidt.
Transformações lineares: definição e exemplos. A adjunta de uma transformação linear com respeito a um produto escalar.
A matriz de uma transformação linear numa base. O efeito da mudança de base na matriz de uma transformação linear, matrizes de mudança de base.
Núcleo e imagem de uma transformação linear. Posto e nulidade.
Sistemas lineares, transformações lineares e matrizes. Operações elementares e escalonamento de matrizes: algoritmos de eliminação Gaussiana e de Gauss-Jordan.
O determinante de uma transformação linear e de uma matriz.
Autovalores e autovetores: definição e interpretação geométrica. O polinômio característico.
Bases de autovetores e diagonalização de transformações lineares. O Teorema Espectral.
Tópicos suplementares (a serem administrados ao longo do curso se houver tempo): a pseudoinversa de uma transformação linear e decomposição em valores singulares, aplicações (regressão linear, análise de componentes principais).