Plano de ensino – Bases Matemáticas – 3q’26

Esta é a página sobre a disciplina BIS0003 – Bases Matemáticas, ministrada no terceiro quadrimestre de 2026 para a turma B1 Noturno – campus São Bernardo do Campo, nos seguintes horários:

3as. feiras 19h00-21h00, sala Alfa-S206;
5as. feiras 21h00-23h00, sala Alfa-S206.

Aqui encontram-se informações específicas sobre a turma acima.

Aulas

Uma breve descrição do conteúdo apresentado em cada aula está listada abaixo.

Aula 9 – 20.10.26 – Conjuntos (iv): operações entre dois conjuntos $A,B$ (ii). Recapitulação: união $A\cup B=\{x|(x\in A)\vee(x\in B)\}$ , intersecção $A\cap B=\{x|(x\in A)\wedge(x\in B)\}$ , diferença $A\smallsetminus B=\{x|(x\in A)\wedge(x\not\in B)\}$ (caso particular se $B\subset A$ : $A\smallsetminus B=\complement_A B$ = complemento de $B$ em $A$ , $A=\mathbb{U}$ = universo: $\complement_{\mathbb{U}} B=B^c$ = complemento de $B$ ), diferença simétrica $A\vartriangle B=(B\smallsetminus A)\cup(A\smallsetminus B)$ – definição e diagramas de Venn, conjuntos disjuntos ( $A\cap B=\varnothing$ ). Propriedades e exemplos das operações entre conjuntos. O produto cartesiano $A\times B=\{(a,b)\ |\ (a\in A)\wedge(b\in B)\}$ de $A$ e $B$ (i): definição, pares ordenados $(a,b)=\{a,\{b\}\}$ ( $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow(a=c)\wedge(b=d)$ ), exemplos. (Caputi-Miranda: Seção 2.3, Iezzi-Murakami 1: Seções II.VII a II.XI, IV.I e IV.III)
Aula 8 – 15.10.26 – Conjuntos (iii): recapitulação – noções primitivas (conjuntos e seus elementos, pertinência $in$ ) de um objeto $a$ a um elemento $A$ – proposição $a\in A$ = “ $a$ pertence a $A$ ” e sua negação $\neg(a\in A)=a\not\in A$ – “ $a$ não pertence a $A$ “), descrições enumerativa $A=\{a_1,a_2,\ldots\}$ e predicativa $A=\{a\ |\ p(a)$ é $V\}$ ) (i.e. $A$ é o conjunto-verdade da função proposicional $p(x)$ da variável $x$ ). Proposições básicas sobre conjuntos: inclusão $\subset$ ( $A\subset B$ = “ $A$ está contido em $B$ ” = $(\forall x)((x\in A)\rightarrow(x\in B))$ ), $\neg(A\subset B)=A\not\subset B=(\exists x)((x\in A)\wedge(x\not\in B))$ ), inclusão reversa $\supset$ ( $B\supset A$ = “ $A$ contém $B$ “, $\neg(B\supset A)=B\not\supset A$ ) e igualdade $=$ ( $(A=B)$ = “ $A$ é igual a $B$ ” = $(\forall x)((x\in A)\leftrightarrow(x\in B))\Leftrightarrow(A\subset B)\wedge(B\subset A)$ , $\neg(A=B)=(A\neq B)$ ) entre conjuntos, subconjuntos e superconjuntos. Conjunto vazio $\varnothing$ (a proposição $(\forall x)(x\not\in\varnothing)$ é V), conjuntos unitários $A=\{a\}$ (a proposição $(\exists ! x)(x\in A)$ é V) e conjunto das partes $P(A)=2^A=\{B\subset A\}$ de um conjunto $A$ ( $B\in P(A)\Leftrightarrow B\subset A$ ). Operações entre dois conjuntos $A,B$ (i): união $A\cup B=\{x|(x\in A)\vee(x\in B)\}$ , intersecção $A\cap B=\{x|(x\in A)\wedge(x\in B)\}$ , diferença $A\smallsetminus B=\{x|(x\in A)\wedge(x\not\in B)\}$ (caso particular se $B\subset A$ : $A\smallsetminus B=\complement_A B$ = complemento de $B$ em $A$ ) – definição e diagramas de Venn. Conjuntos disjuntos ( $A\cap B=\varnothing$ ). (Caputi-Miranda: Seções 2.1 a 2.3, Iezzi-Murakami 1: Seções II.I a II.VIII, II.X e II.XI)
Aula 7 – 13.10.26 – Conjuntos (ii): recapitulação – noções primitivas (conjuntos e seus elementos, pertinência $in$ ) de um objeto $a$ a um elemento $A$ – proposição $a\in A$ = “ $a$ pertence a $A$ ” e sua negação $\neg(a\in A)=a\not\in A$ – “ $a$ não pertence a $A$ “), descrições enumerativa $A=\{a_1,a_2,\ldots\}$ e predicativa $A=\{a\ |\ p(a)$ é $V\}$ ) (i.e. $A$ é o conjunto-verdade da função proposicional $p(x)$ da variável $x$ ), universos e sua necessidade (paradoxo de Russell). Proposições básicas sobre conjuntos: inclusão $\subset$ ( $A\subset B$ = “ $A$ está contido em $B$ “, $\neg(A\subset B)=A\not\subset B$ ), inclusão reversa $\supset$ ( $B\supset A$ = “ $A$ contém $B$ “, $\neg(B\supset A)=B\not\supset A$ ) e igualdade $=$ ( $(A=B)=(A\subset B)\wedge(B\subset A)$ = “ $A$ é igual a $B$ “, $\neg(A=B)=(A\neq B)$ ) entre conjuntos, subconjuntos e superconjuntos. Conjunto vazio $\varnothing$ , conjuntos unitários $A=\{a\}$ e conjunto das partes $P(A)=2^A=\{B\subset A\}$ de um conjunto $A$ . (Caputi-Miranda: Seções 2.1 e 2.2, Iezzi-Murakami 1: Seções II.I a II.VI)
Aula 6 – 8.10.26 – Conjuntos (i): noções primitivas – conjuntos e seus elementos (definição ingênua), notação usual para conjuntos e elementos, relação de pertinência $a\in A$ entre um elemento $a$ do universo e um conjunto $A$ e sua negação $a\not\in A$ . Descrições enumerativa $A=\{a_1,a_2,\ldots\}$ e predicativa $A=\{a(\in U)\ |\ p(a)$ é $V\}$ ) (i.e. $A$ é o conjunto-verdade da função proposicional $p(x)$ da variável $x$ (com domínio $U$ )) de um conjunto $A$ (num universo $U$ ). Sobre a necessidade de universos em teoria de conjuntos: conjuntos endológicos ( $A\in A$ ) e exológicos ( $A\not\in A$ ), paradoxo de Russell – se $R$ é o “conjunto” de todos os conjuntos exológicos (ou seja, sem especificar um universo ao qual pertençam) então não é possível definir a veracidade de $R\in R$ (enunciado). Relações elementares entre conjuntos: inclusão $\subset$ , inclusão reversa $\supset$ e igualdade $=$ entre conjuntos, subconjuntos e superconjuntos. Conjunto vazio $\varnothing$ , conjuntos unitários $A=\{a\}$ e conjunto das partes $P(A)=2^A=\{B\subset A\}$ de um conjunto $A$ . (Caputi-Miranda: Seções 2.1 e 2.2, Iezzi-Murakami 1: Seções II.I a II.VI)
Aula 5 – 6.10.26 – Noções básicas de lógica (iv): funções proposicionais ( = sentenças abertas) (iii) – definição, variáveis de uma função proposicional, valores e domínio ( = universo) de uma variável. Instância ( = substituição por um valor no domínio) de uma variável e quantificação ( = aplicação de um quantificador: $\forall$ = “para todo” = quantificador universal, $\exists$ = “para algum” = quantificador existencial, $\exists!$ = “para um único” = quantificador de existência única) de uma variável numa função proposicional. Proposições obtidas instanciando ou quantificando todas as variáveis de uma função proposicional numa determinada ordem, variáveis livres e aparentes. O efeito da ordem da instância / quantificação das variáveis livres de uma função proposicional sobre a proposição obtida – exemplos. Negação de uma função proposicional, efeito da operação de negação sobre os quantificadores universal e existencial. Técnicas de demonstração: equivalências lógicas envolvendo operações sobre proposições compostas ( = formadas por outras proposições por meio de operações) – falsidade da negação de implicação ( $p\rightarrow q\Leftrightarrow(\neg p)\vee q$ , $\neg(p\rightarrow q)\Leftrightarrow p\wedge(\neg q)$ = “redução ao absurdo”), contrapositiva ( $p\rightarrow q\Leftrightarrow(\neg q)\rightarrow(\neg p)$ . (Caputi-Miranda: Seções 1.1 e 1.2, Iezzi-Murakami 1: Seções I.IX e I.X)
Aula 4 – 1.10.26 – Noções básicas de lógica (iv): funções proposicionais ( = sentenças abertas) (ii) – definição, variáveis de uma função proposicional, valores e universo ( = domínio) de uma variável – definição e exemplos. Instância de uma função proposicional ( = proposição obtida substituindo cada variável na função proposicional por um valor no respectivo domínio) e instância parcial de uma função proposicional ( = função proposicional de parte das variáveis da função proposicional original obtida substituindo cada uma das variáveis restantes por um valor no respectivo domínio) – definição e exemplos. Conjunto-verdade de uma variável para uma função proposicional ( = subconjunto dos valores no domínio para os quais a respectiva instância da função proposicional é verdadeira). Quantificadores universal $\forall$ = “para todo”, existencial $\exists$ = “para algum” e existencial único $\exists!$ = “para um único”, proposições quantificadas de uma variável ( = proposição obtida aplicando um quantificador à variável de uma função proposicional) – definição, tabelas-verdade e exemplos. Negação de funções proposicionais, efeito da negação sobre proposições quantificadas. Quantificação de funções proposicionais de mais de uma variável: a importância da ordem de quantificação das variáveis. (Caputi-Miranda: Seção 1.1, Iezzi-Murakami 1: Seção I.IX)
Aula 3 – 29.9.26 – Noções básicas de lógica (iii): recapitulação – proposições ( = sentenças) e sua veracidade ( = classificação como verdadeiro (V) ou Falso (F)), noções de verdade numa linguagem, axiomas e hipóteses particulares, operações sobre proposições (negação $\neg$ = “não”, conectivos de conjunção $\wedge$ = “e” e disjunção $\vee$ = “ou” não-exclusivo, condicionais $\rightarrow$ = “se (…) então (…)” e $\leftrightarrow$ = “(…) se e somente se (…)”) e suas tabelas-verdade, proposições logicamente verdadeiras ( = tautologias) e logicamente falsas, relações entre proposições (implicação $\Rightarrow$ e equivalência $\Leftrightarrow$ ), relação com condicionais entre proposições ( $p\Rightarrow q$ , resp. $p\Leftrightarrow q$ se $p\rightarrow q$ , resp. $p\leftrightarrow q$ for uma tautologia). Funções proposicionais ( = sentenças abertas) e variáveis (i): definição. (Caputi-Miranda: Seção 1.1, Iezzi-Murakami 1: Seções I.I a I.IX)
Aula 2 – 17.9.26 – Noções básicas de lógica (ii): recapitulação – proposições ( = sentenças) e sua veracidade ( = classificação como verdadeiro (V) ou Falso (F)), noções de verdade numa linguagem, axiomas e hipóteses. Operações sobre proposições (ii): negação (“não”), conjunção (“e”) e disjunção (“ou” não-exclusivo), condicionais “se p então q” e “p se e somente se q” – exemplos e tabelas-verdade. Proposições logicamente verdadeiras ( = tautologias) e logicamente falsas. Relações entre proposições: implicação e equivalência, relação com condicionais entre proposições. (Caputi-Miranda: Seção 1.1, Iezzi-Murakami 1: Seções I.I a I.VIII)
Aula 1 – 15.9.26 – Informações sobre o funcionamento do curso. Motivação: Bases Matemáticas = pré-(paração para o) Cálculo (diferencial e integral) (e, mais em geral, para a matemática universitária), o papel do rigor matemático. Noções básicas de lógica (i): proposições ( = sentenças) e sua veracidade ( = classificação como verdadeiro (V) ou Falso (F)) numa linguagem (e.g. língua portuguesa, linguagem simbólica matemática), exemplos de proposições verdadeiras ou falsas. Operações sobre proposições (i): negação (“não”), conjunção (“e”) e disjunção (“ou” não-exclusivo) – exemplos e tabelas-verdade. (Caputi-Miranda: Seção 1.1, Iezzi-Murakami 1: Seções I.I a I.III)

Bibliografia

Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.

S. J. Axler, Pré-Cálculo: Uma Preparação para o Cálculo (2a. edição). LTC, 2016, Capítulos 0 a 4;
A. Caputi, D. Miranda, Bases Matemáticas (notas de aula em formato PDF);
G. Iezzi, C. Murakami, Fudamentos de Matemática Elementar – Volume 1: Conjuntos e Funções (9a. edição). Editora Atual, 2013, Capítulos I a V e X;
G. Iezzi, C. Murakami, Fudamentos de Matemática Elementar – Volume 8: Limites, Derivadas e Noções de Integral (9a. edição). Editora Atual, 2013, Capítulos II a V;
James Stewart, Cálculo, Volume 1 (6a. edição). Cengage Learning, 2012.

Avaliação

Média preliminar:
M_p = 0,5*(P₁ + P₂)
Média final:
M_p = 0,5*max(P₁+P₂, Rec+P₁, Rec+P₂)
Critério de conversão de média preliminar (M_p) / final (M_f) para conceito preliminar (C_p) / final (C_f): C_p (resp. C_f) = F – M_p (resp. M_f) < 4,5;
C_p (resp. C_f) = D – M_p (resp. M_f) = 4,5-5,2;
C_p (resp. C_f) = C – M_p (resp. M_f) = 5,3-6,9;
C_p (resp. C_f) = B – M_p (resp. M_f) = 7,0-8,4;
C_p (resp. Cf) = A – M_p (resp. M_f) = 8,5-10,0.
A prova substitutiva só poderá ser feita por participantes que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva, segundo os critérios descritos na Resolução ConsEPE no. 227. A solicitação de prova substitutiva deverá ser feita por e-mail, em até 24 horas após a prova perdida. Preferencialmente o documento físico original deve ser entregue; se não por possível (e.g. pelo mesmo ser exigido para justificar ausência em provas de outras disciplinas), será aceita uma cópia digitalizada enviada por email mas será exigido nesse caso que @ participante apresente o documento original para conferência dentro do mesmo prazo.
A prova de recuperação será aplicada no início do 1q’27, no mesmo formato que a P₁ e a P₂ mas que cobrirá o conteúdo do curso inteiro. Apenas participantes que ficaram com conceitos preliminares D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
Datas das provas:

P1 – 27.10 (terça-feira);
P2 – 3.12 (quinta-feira);
Sub – 11.12 (sexta-feira, se houver necessidade) das 19h00 às 21h00, sala Tau-S305;
Rec – início do primeiro quadrimestre de 2027, a divulgar.

Listas de exercícios

Listas mínimas do Gradmat:

As listas anteriores do Gradmat podem ser encontradas aqui. Elas contém mais material do que o abordado nas listas mínimas.

É extremamente importante que @s participantes façam todas as listas mínimas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!

@s participantes que assim desejarem poderão entregar as suas resoluções das listas mínimas correspondentes à matéria de cada prova nas seguintes datas:

P1 – 29.10 (quinta-feira);
P2 – data da Rec.

Tais listas serão avaliadas nos casos de média final limítrofe para aprovação (ver tabela de conversão de conceitos acima), convertendo-se num bônus de até 1,5 ponto na média final. As resoluções das listas precisam ser manuscritas (a caneta ou lápis) e entregues no papel. Versões digitais ou feitas em tablet não serão aceitas, não envie nada por email!

Monitoria, atendimento online e plantão de dúvidas

A partir de terça-feira, 15.9 haverá monitoria presencial nas seguintes datas e horários:

Luiz Fernando Carvalho Bertuqui – 3as. e 5as. feiras, 14h00-16h00, sala Tau-S201 (campus SBC);
Gabriel Ben Anjos Levinbook – 3as., 5as. e 6as. feiras, 18h00-19h00, sala Tau-S201 (campus SBC).

Os monitores também farão atendimento online assíncrono no Discord, que terá início na mesma data que os plantões presenciais.

Haverá também um plantão de dúvidas às quartas-feiras das 18h00 às 21h00, na sala de reuniões do CMCC do campus SBC (Delta-S265, 2o. andar, Bloco Delta, campus São Bernardo do Campo). O plantão terá início no dia 16.9.

Roteiro

Uma descrição sucinta dos tópicos do curso na ordem a ser seguida pode ser vista abaixo.

Elementos de linguagem e lógica matemática: proposições, conectivos e quantificadores, condição necessária e/ou suficiente;
Elementos da teoria ingênua de conjuntos: conjuntos, subconjuntos, operações envolvendo conjuntos;
Conjuntos numéricos: números naturais e indução; números reais; equações e inequações;
Funções: definição e propriedades; funções injetoras e sobrejetoras; função composta e inversa;
Funções de uma variável real a valores reais: função escada, função módulo, funções polinomiais, funções racionais, funções exponenciais, funções logarítmicas, funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas;
Gráfico de funções. Transformações do gráfico de uma função: translação e dilatação;
Limite e continuidade: conceito de limite de função, propriedades dos limites, Teorema do Confronto, limites laterais, limites infinitos, continuidade. Teorema do Valor Intermediário.