MCTB010 – 1q’20 – Aula 2 (14.2.20)

Revisão de Álgebra Linear (1) – Operações vetoriais de $\RR^n$ , (sub)espaços vetoriais

Para podermos lidar com campos vetoriais, é necessário poder manipulá-los algebricamente. Para tal, precisamos coletar as ferramentas para essa finalidade, fornecidas pela Álgebra Linear.

Operações vetoriais de $\RR^n$ , axiomas de espaço vetorial

Lembremos que $\RR^n$ pode ser entendido como o conjunto das listas ordenadas de $n$ números reais $x_1,\ldots,x_n$ :

$\begin{split} \vx &=(x_1,\ldots,x_n) \\ \Then x_j &=j\text{\emph{-\'{e}sima componente de} }\vx\ ,\\ &\phantom{=}j=1,\ldots,n\ .\end{split}$

Por “ordenadas” entende-se que trocando duas componentes de $\vx$ de lugar muda a lista, a menos que tais componentes sejam iguais. Os elementos de $\RR^n$ são denominados vetores em $\RR^n$ ou vetores $n$ -dimensionais.

$\RR^n$ é munido de duas operações vetoriais:

A soma (vetorial) de dois vetores $\vx=(x_1,\ldots,x_n)$ , $\vy=(y_1,\ldots,y_n)$ , dada por
$\begin{split}\vx+\vy &=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \\ \Then x_j+y_j &=j\text{-\'{e}sima componente de }\vx+\vy\ ,\\ &\phantom{=}j=1,\ldots,n\ .\end{split}$
A multiplicação (pelo) escalar $(\alpha\in\RR)$ do vetor $\vx=(x_1,\ldots,x_n)$ , dada por
$\begin{split} \alpha\vx &=(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n) \\ \Then \alpha x_j &=j\text{-\'{e}sima componente de }\alpha\vx\ ,\\ &\phantom{=}j=1,\ldots,n\ . \end{split}$

As operações vetoriais de $\RR^n$ satisfazem a seguinte lista de propriedades, chamadas axiomas de espaço vetorial real ou sobre $\RR$ (em referência ao corpo de escalares $\RR$ , que é o conjunto dos números pelos quais podemos multiplicar vetores, chamados escalares. Não consideraremos outros corpos de escalares além de $\RR$ ). No que se segue, $\vx,\vy,\vz\in\RR^n$ são vetores quaisquer e $\alpha,\beta\in\RR$ são escalares quaisquer quando não especificados.

$\vx+\vy=\vy+\vx$ (comutatividade da soma);
$\vx+(\vy+\vz)=(\vx+\vy)+\vz$ (associatividade da soma);
Existe um vetor $\og$ em $\RR^n$ tal que $\vx+\og=\vx$ para todo vetor $\vx$ em $\RR^n$ (existência de elemento neutro para a soma). A saber,
$\og=(0,\ldots,0)\ ,$
i.e. todas as componentes de $\og$ são iguais a zero;
Dado um vetor $\vx$ em $\RR^n$ , existe um vetor $-\vx$ em $\RR^n$ tal que $\vx+(-\vx)=\og$ (existência de inverso para a soma). A saber,
$-\vx=(-x_1,\ldots,-x_n)\ ,$
i.e. a $j$ -ésima componente de $-\vx$ é igual a $-x_j$ para todo $j=1,\ldots,n$ ;
$(\alpha\beta)\vx=\alpha(\beta\vx)$ (associatividade da multiplicação escalar);
$\alpha(\vx+\vy)=\alpha\vx+\alpha\vy$ (distributividade da multiplicação escalar com respeito à soma vetorial);
$(\alpha+\beta)\vx=\alpha\vx+\beta\vx$ (distributividade da multiplicação escalar com respeito à soma escalar);
$1\vx=\vx$ (elemento neutro para a multiplicação escalar).

Exercício 1. Verifique os axiomas (a)-(h) para as operações vetoriais de $\RR^n$ .

Exercício 2. Verifique que $\og$ é o único elemento neutro para a soma vetorial de $\RR^n$ e que, para todo vetor $\vx\in\RR^n$ , $-\vx$ é o único inverso de $\vx$ para a soma vetorial de $\RR^n$ .

Alternativamente, os Exercícios 1 e 2 serão resolvidos num contexto mais geral mais adiante.

(Sub)espaços vetoriais

Definição 1. Um conjunto $V\neq\varnothing$ munido de operações vetoriais de soma (vetorial) $\vx+\vy$ $(\vx,\vy\in V)$ e multiplicação escalar $\alpha\vx$ ( $\alpha\in\RR$ , $\vx\in V$ ) satisfazendo os axiomas (a)–(h) enumerados acima é chamado de espaço vetorial (real ou sobre (o corpo de escalares) $\RR$ ). Neste caso, os elementos de $V$ são chamados de vetores em $V$ .

Propriedades das operações vetoriais que dependem apenas dos axiomas de espaço vetorial (identidades que seguem de um axioma específico dentre os axiomas (a)-(h) terão o axioma usado indicado sobre o sinal de igualdade quando necessário) valem para todos os espaços vetoriais, não apenas $\RR^n$ ! Em particular, tais propriedades não dependem das características específicas de $\RR^n$ e sua operações vetoriais. Por exemplo:

Só existe um elemento neutro – portanto, justificadamente denotado por $\og$ – para a soma vetorial de $V$ . (de fato, dados vetores $\vo_1,\vo_2\in V$ tais que
$\vx+\vo_1=\vx+\vo_2=\vx$
para todo vetor $\vx\in V$ , tomando $\vx=\vo_1$ obtemos
$\vo_1+\vo_2=\vo_1$
e tomando $\vx=\vo_2$ obtemos
$\vo_2+\vo_1=\vo_2\ .$
Concluímos daí e do axioma (a) que $\vo_1=\vo_2$ )
Dado $\vx\in V$ , só existe um inverso de $\vx$ para a soma vetorial de $V$ – portanto, justificadamente denotado por $-\vx$ (notação: $\vx+(-\vy)=\vx-\vy$ ). Em particular, $-(-\vx)=\vx$ . (de fato, dado $\vx\in V$ sejam vetores $\vy,\vz\in V$ tais que $\vx+\vy=\vx+\vz=\og$ . Somando-se $\vz$ à primeira e última fórmulas, segue que
$\vz+(\vx+\vy)=\vz+\og\stackrel{(c)}{=}\vz$
e
$\vz+(\vx+\vy)\stackrel{(b)}{=}(\vz+\vx)+\vy\stackrel{(a)}{=}(\vx+\vz)+\vy=\og+\vy\stackrel{(c)}{=}\vy\ ,$
de onde concluímos que $\vy=\vz$ . A última identidade segue disso e de (a))
$0\vx=\og$ . (de fato,
$0\vx+0\vx\stackrel{(g)}{=}(0+0)\vx=0\vx\ .$
Somando $-0\vx$ à primeira e última fórmulas, concluímos que
$(0\vx+0\vx)-0\vx\stackrel{(b)}{=}0\vx+(0\vx-0\vx)\stackrel{(d)}{=}0\vx+\og\stackrel{(c)}{=}0\vx$
e $0\vx-0\vx\stackrel{(d)}{=}\og$ , logo $0\vx=\og$ )
$\alpha\og=\og$ . (de fato,
$\alpha\og+\alpha\og\stackrel{(f)}{=}\alpha(\og+\og)\stackrel{(c)}{=}\alpha\og\ .$
De maneira análoga à prova da propriedade anterior, somando-se $-\alpha\og$ à primeira e última fórmulas, concluímos que
$(\alpha\og+\alpha\og)-\alpha\og\stackrel{(b)}{=}\alpha\og+(\alpha\og-\alpha\og)\stackrel{(d)}{=}\alpha\og+\og\stackrel{(c)}{=}\alpha\og$
e $\alpha\og-\alpha\og\stackrel{(d)}{=}\og$ , logo $\alpha\og=\og$ )
$(-\alpha)\vx=-(\alpha\vx)=\alpha(-\vx)$ . Em particular, $(-1)\vx\stackrel{(h)}{=}-\vx$ . (de fato,
$(-\alpha)\vx+\alpha\vx\stackrel{(g)}{=}(-\alpha+\alpha)\vx=0\vx=\og$
e
$\alpha(-\vx)+\alpha\vx\stackrel{(f)}{=}\alpha(\vx-\vx)=\alpha\og=\og\ .$
O resultado desejado segue da unicidade do inverso para a soma vetorial de $V$ provada acima)
Se $\alpha\vx=\og$ , então $\alpha=0$ ou $\vx=\og$ . Em particular, se $V\neq{\og}$ , $1$ é o único escalar que satisfaz o axioma (h). (de fato, vimos acima que $0\vx=\og$ . Se, por outro lado, $\alpha\neq 0$ , temos que
$\frac{1}{\alpha}(\alpha\vx)\stackrel{(e)}{=}\left(\frac{\alpha}{\alpha}\right)\vx=1\vx\stackrel{(h)}{=}\vx=\frac{1}{\alpha}\og=\og\ ,$
logo $\vx=\og$ . Para a última afirmação, notar que se $\alpha\vx=\vx$ para todo $\vx\in V$ , então
$\alpha\vx-\vx=\alpha\vx+(-1)\vx\stackrel{(g)}{=}(\alpha-1)\vx=\vx-\vx\stackrel{(d)}{=}\og\ .$
Tomando $\vx\neq\og$ qualquer resulta em $\alpha=1$ ).

Exercício 3. Prove a partir dos axiomas (a)-(h) e/ou de suas consequências provadas acima as seguintes propriedades, válidas para quaisquer vetores $\vx,\vy\in V$ e quaisquer escalares $\alpha,\beta\in\RR$

Se $\alpha\vx=\alpha\vy$ e $\alpha\neq 0$ , então $\vx=\vy$ ;

Se $\alpha\vx=\beta\vx$ e $\vx\neq\og$ , então $\alpha=\beta$ ;

$-(\vx+\vy)=(-\vx)+(-\vy)=-\vx-\vy$ ;

$\vx+\vx=2\vx$ . Mais em geral, $\sum^k_{i=1}\vx=k\vx$ . (para a definição do símbolo de somatória num espaço vetorial, ver o início da aula 3)

Dentre os exemplos de espaços vetoriais, podemos citar:

Obviamente, $\RR^n$ . Em particular, $\RR$ $(n=1)$ é espaço vetorial sobre si mesmo.
Dado , seja o espaço das funções de em :
$V=F(A,\RR)=\{f:A\To\RR\}\ .$
Definimos em tal as operações vetoriais pontuais (a seguir, , , são quaisquer)
- Soma (vetorial):
  $(f+g)(p)=f(p)+g(p)\ ;$
- Multiplicação escalar:
  $(\alpha f)(p)=\alpha f(p)\ .$
A validade dos axiomas (a)-(h) para tais operações segue imediatamente da validade dos axiomas correspondentes no contradomínio (i.e. ). De fato, se , e são quaisquer, então:
1. $(f+g)(p)=f(p)+g(p)=g(p)+f(p)=(g+f)(p)$ ;
2. $(f+(g+h))(p)=f(p)+(g+h)(p)=f(p)+(g(p)+h(p))$ $=(f(p)+g(p))+h(p)=(f+g)(p)+h(p)=((f+g)+h)(p)$ ;
3. $0(p)\equiv 0$ (i.e. $0(p)=0$ para todo $p\in A$ ) satisfaz $(f+0)(p)=f(p)+0=f(p)$ para todo $p\in A$ ;
4. Dado $f\in V$ , $(-f)(p)=-f(p)$ $(p\in A)$ satisfaz $(f+(-f))(p)=f(p)-f(p)=0=0(p)$ para todo $p\in A$ ;
5. $((\alpha\beta)f)(p)=(\alpha\beta)f(p)=\alpha(\beta f(p))=\alpha(\beta f)(p)=(\alpha(\beta f))(p)$ ;
6. $(\alpha(f+g))(p)=\alpha(f+g)(p)=\alpha(f(p)+g(p))=\alpha f(p)+\alpha g(p)$ $=(\alpha f)(p)+(\alpha g)(p)$ ;
7. $((\alpha+\beta)f)(p)=(\alpha+\beta)f(p)=\alpha f(p)+\beta f(p)=(\alpha f)(p)+(\beta f)(p)$ $=((\alpha f)+(\beta f))(p)$ ;
8. $(1f)(p)=1f(p)=f(p)$ .
Em particular, se , então e as operações vetoriais pontuais de coincidem com as operações vetoriais usuais de , logo as últimas satisfazem os axiomas (a)-(h), como apontado acima.
Mais em geral, se e é um espaço vetorial (real), seja o espaço das funções em a valores em :
$V=F(A,W)=\{\vf:A\To W\}\ .$

Definimos em tal $V$ as operações vetoriais pontuais (a seguir, $\vf,\vg:A\To\RR$ , $p\in A$ , $\alpha\in\RR$ são quaisquer)
- Soma (vetorial):
  $(\vf+\vg)(p)=\vf(p)+\vg(p)\ ;$
- Multiplicação escalar:
  $(\alpha \vf)(p)=\alpha \vf(p)\ .$
Tal como no exemplo (ii) acima, a validade dos axiomas (a)-(h) para tais operações segue imediatamente da validade dos axiomas correspondentes no contradomínio . Os cálculos são exatamente os mesmos.

Mais exemplos podem ser obtidos a partir dos dados acima a partir da seguinte

Definição 2. Seja $V$ um espaço vetorial, e $W\subset V$ não-vazio. Dizemos que $W$ é subespaço vetorial de $V$ se, dados $\vx,\vy\in W$ e $\alpha\in\RR$ quaisquer, então

$\vx+\vy\in W$ ;

$\alpha\vx\in W$ .

Se $W\neq V$ , dizemos que $W$ é subespaço vetorial próprio de $V$ .

Mostraremos que todo subespaço vetorial $W\subset V$ é um espaço vetorial se munido das operações vetoriais herdadas de $V$ (o que sempre assumiremos ser o caso). De fato, os axiomas (a), (b) e (e)-(h) são claramente satisfeitos em $W$ . O que nos resta fazer para obter a validade dos axiomas (c) e (d) em $W$ é provar, respectivamente, que:

$\og\in W$ . (se $\vx\in W$ , segue de (ii) que $0\vx=\og\in W$ )
Se $\vx\in W$ , então $-\vx\in W$ . (se $\vx\in W$ , segue de (ii) que $(-1)\vx=-\vx\in W$ )

A vantagem de lidar com subespaços vetoriais é que verificar se $W\subset V$ é subespaço vetorial de $V$ é bem mais simples do que verificar os axiomas (a)-(h) em $W$ . Em particular, ao verificarmos se $W\neq\varnothing$ , é conveniente verificar se $\og\in W$ . Se não for o caso, sabemos com certeza que $W$ não é subespaço vetorial, mesmo se $W$ não for vazio.

(Contra)exemplos de subespaços vetoriais:

$V$ qualquer, $W=\{\og\}$ : claramente $\og+\og=\og$ e vimos que $\alpha\og=\og$ para todo $\alpha\in\RR$ , logo $W$ é subespaço vetorial de (V) – o chamado subespaço vetorial trivial de $V$ .
$V=\RR^3$ , $W=\{(x,y,z)\in V\ |\ z=0\}$ : claramente $\og=(0,0,0)\in W$ . Além disso, temos que se $(x,y,0),(x',y',0)\in W$ e $\alpha\in\RR$ então
$(x,y,0)+(x',y',0)=(x+x',y+y',0)\in W$
e
$\alpha(x,y,0)=(\alpha x,\alpha y,0)\in W\ .$
$V=\RR^n$ , $W=\{\vx=(x_1,\ldots,x_n)\in V\ |\ \vx\text{ é solução de \eqref{ch1e2}}\}$ , onde \eqref{ch1e2} é o sistema linear homogêneo

(1) $\begin{equation*} \left{\begin{array}{cccccr} A^1_1 x_1 & + & \cdots & + & A^1_n x_n & =0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A^m_1 x_1 & + & \cdots & + & A^m_n x_n &= 0 \end{array}\right.\ . \end{equation*}$
Claramente $\og=(0,\ldots,0)\in W$ . Além disso, se $\vx=(x_1,\ldots,x_n),\vy=(y_1,\ldots,y_n)$ pertencem a $W$ e $\alpha\in\RR$ , então
$\left{\begin{array}{cccccr} A^1_1(x_1+y_1) & + & \cdots & + & A^1_n(x_n+y_n) & =0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A^m_1(x_1+y_1) & + & \cdots & + & A^m_n(x_n+y_n) & =0 \end{array}\right.$
e
$\left{\begin{array}{cccccr} A^1_1(\alpha x_1) & + & \cdots & + & A^1_n(\alpha x_n) & =0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A^m_1(\alpha x_1) & + & \cdots & + & A^m_n(\alpha x_n) & =0 \end{array}\right.\ ,$
logo $\vx+\vy$ e $\alpha\vx$ também pertencem a $W$ . Veremos mais adiante que esse é um exemplo genérico: todo subespaço vetorial de $\RR^n$ é o espaço de soluções de algum sistema linear homogêneo. Por outro lado, se o lado direito de alguma das equações de (1) não fosse zero (i.e. o sistema passasse a ser não-homogêneo), então $\og$ não pertenceria a $W$ pois nesse caso tal equação obviamente não pode ser satisfeita. Logo, nesse caso $W$ não pode ser subespaço vetorial de $V$ .