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Este é o plano de ensino para a disciplina MCTB001 – Álgebra Linear (AlgLin) conforme ministrada no primeiro quadrimestre letivo de 2022 = quinto Quadrimestre Suplementar (QS) para as seguintes turmas:
- A2 – Noturno, campus Santo André – horário presencial: 2as. feiras 21h00-23h00, 4as. feiras e 5as. feiras 19h00-21h00.
- B2 – Noturno, campus Santo André – horário presencial: 2as. feiras 19h00-21h00, 4as. feiras e 5as. feiras 21h00-23h00.
Aqui encontram-se informações específicas sobre as turmas acima.
Novidades
Notícias recentes sobre o funcionamento do curso serão postadas aqui.
- (11.2.22) A primeira versão das notas de aula está disponível. Estas serão atualizadas gradativamente.
Aulas
Os links para o material de cada aula (vídeo e/ou blog), acompanhados de uma breve descrição desta, serão listados aqui.
- Aula 29 – 11.5.22 (vídeo) – Autovalores e autovetores (i): definição, equação de autovalor para uma transformação linear num espaço vetorial e para uma matriz
, autoespaços de uma transformação linear e de uma matriz
. O polinômio característico de uma transformação linear e de uma matriz
, autovalores = raízes do polinômio característico, exemplo de (não-)existência de autovalores. Bases de autovetores e diagonalizabilidade de uma transformação linear: (contra)exemplos e critérios de diagonalizabilidade – (1.) existência de
autovalores distintos, independência linear de autovetores com autovalores distintos; (2.) hermiticidade com respeito a um produto escalar, ortonormalidade de bases de autovetores. Obtendo autovalores e bases de autoespaços usando eliminação gaussiana.
- Aula 28 – 9.5.22 (vídeo) – Determinantes (ii): recapitulação – funções determinantes num espaço vetorial
-dimensional (definição e propriedades =
-linearidade, anti-simetria e caracterizações equivalentes da última sob
-linearidade, bases ordenadas, expressão de uma função determinante em termos do seu valor numa base ordenada, função determinante associada a uma base ordenada). A ação de transformações lineares sobre bases ordenadas. O determinante de uma transformação linear: definição e independência da escolha de base ordenada. Propriedades do determinante de uma transformação linear: (1.) determinantes de matrizes, (2.) adjuntas e transpostas, (3.) produtos, (4.) critério do determinante para a invertibilidade de uma transformação linear. Exemplos: determinantes de operações elementares, determinantes de matrizes escalonadas, cálculo de determinantes por eliminação gaussiana.
- Aula 27 – 5.5.22 (vídeo) – Determinantes (i): funções determinantes num espaço vetorial
-dimensional – definição e propriedades (
-linearidade, anti-simetria). Interlúdio 1: caracterizações equivalentes da anti-simetria de uma função
-linear num espaço vetorial. Bases ordenadas, expressão de uma função determinante em termos do seu valor numa base ordenada. Interlúdio 2: permutações de
objetos e seus sinais. Função determinante associada a uma base ordenada, determinante de uma transformação linear, determinante de uma matriz
.
- Aula 26 – 4.5.22 (vídeo) – Sistemas lineares (v): descrição do algoritmo de Gauss-Jordan, objetivo do algoritmo de Gauss-Jordan ( = automatização da substituição das variáveis nos pivôs do sistema escalonado pelo algoritmo de eliminação gaussiana). Qual o melhor momento de efetuar a substituição das variáveis nos pivôs? Prós e contras de cada opção (durante ou depois do escalonamento). Aplicações (inversão de matrizes).
- Aula 25 – 2.5.22 (vídeo) – Sistemas lineares (iv): recapitulação – sistemas lineares em forma matricial e forma matricial escalonada equivalente obtida por eliminação gaussiana, critério de existência de soluções em termos do sistema escalonado. Obtenção da solução geral de um sistema linear a partir da forma matricial escalonada: (0.) variáveis nos pivôs e fora dos pivôs, (1.) solução particular a partir do anulamento das variáveis fora dos pivôs e posterior substituição sucessiva das variáveis nos pivôs, (2.) obtendo uma base de soluções do sistema linear homogêneo associado na forma matricial escalonada prescrevendo valores para as variáveis fora dos pivôs e e posterior substituição sucessiva das variáveis nos pivôs. Critério de unicidade de soluções (se existirem) por meio do número de pivôs = posto da matriz do sistema. Exemplo – sistema com mais de uma solução ( = exemplo (2.) da Aula 24). Automatizando a substituição das variáveis nos pivôs do sistema escalonado: o algoritmo de Gauss-Jordan (descrição sucinta).
- Aula 24 – 28.4.22 (vídeo) – Sistemas lineares (iii): recapitulação – descrição do algoritmo de eliminação gaussiana ( = escalonamento de matrizes). Exemplos de escalonamento de sistemas lineares por eliminação gaussiana: (1.) sistema com uma única solução, substituição de variáveis nos pivôs da matriz escalonada; (2.) sistema com mais de uma solução; (3.) sistema sem solução, critério de existência de soluções em termos do sistema escalonado.
- Aula 23 – 27.4.22 (vídeo) – Sistemas lineares (ii): recapitulação – forma abstrata, existência e unicidade de soluções, sistemas lineares homogêneos e não-homogêneos, princípio de superposição, solução geral de um sistema linear como soma de uma solução particular com a solução geral do sistema linear homogêneo associado, critério de unicidade de soluções (supondo existência), bases de soluções de um sistema linear homogêneo, forma matricial e forma explícita de um sistema linear num par de bases, equações e variáveis de um sistema linear num par de bases. Sistemas lineares equivalentes, a ação de transformações lineares invertíveis sobre um sistema linear. Operações elementares numa base do contradomínio: definição, efeito sobre a matriz de um sistema linear. O algoritmo de eliminação gaussiana ( = escalonamento de matrizes): objetivo e descrição.
- Aula 22 – 25.4.22 (vídeo) – Sistemas lineares (i): forma abstrata, soluções, o conjunto de soluções de um sistema linear, existência e unicidade de soluções. Sistemas lineares homogêneos e não-homogêneos. O conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo como subespaço vetorial, princípio de superposição. Solução geral de um sistema linear como soma de uma solução particular com a solução geral do sistema linear homogêneo associado, critério de unicidade de soluções (supondo existência). Bases de soluções de um sistema linear homogêneo. Forma matricial e forma explícita de um sistema linear num par de bases, equações e variáveis de um sistema linear num par de bases. A ação de transformações lineares invertíveis sobre um sistema linear, sistemas lineares equivalentes. Operações elementares numa base do contradomínio: definição.
- Aula 21 – 20.4.22 (vídeo) – Transformações lineares (viii): pseudoinversas de transformações lineares (iii) – fórmula da pseudoinversa de Moore-Penrose em termos da adjunta. O método de regressão linear: melhor ajuste de um modelo teórico para dados experimentais com dependência linear em parâmetros.
- Aula 20 – 18.4.22 (vídeo) – Transformações lineares (vii): pseudoinversas de transformações lineares (ii) – recapitulação (definição, projeções lineares associadas a uma pseudoinversa, pseudoinversas de uma transformação linear que são “pseudoinvertidas” pela última e sua determinação pelas projeções lineares associadas). Relação com a prova do Teorema do Núcleo e da Imagem. Não-unicidade de pseudoinversas com projeções lineares associadas dadas.
- Aula 19 – 14.4.22 (vídeo) – Transformações lineares (vi): pseudoinversas de transformações lineares – definição, projeções lineares associadas a uma pseudoinversa. Interlúdio: propriedades de projeções lineares. O caso de pseudoinversas de uma transformação linear que são “pseudoinvertidas” pela última: determinação pelas projeções lineares associadas. O caso de projeções ortogonais: a pseudoinversa de Moore-Penrose, propriedade de minimização da distância à imagem.
- Aula 18 – 13.4.22 (vídeo) – Transformações lineares (v): recapitulando – a imagem e a imagem inversa de um subconjunto por uma transformação linear (definição, o caso de imagens inversas de conjuntos unitários, o caso de subespaços vetoriais), núcleo e imagem de uma transformação linear, o Teorema do Núcleo e da Imagem (enunciado). Prova do Teorema do Núcleo e da Imagem. Consequências do Teorema do Núcleo e da Imagem: caracterização de sobrejetividade, injetividade e bijetividade de transformações lineares, o Lema de Riesz revisitado.
- Aula 17 – 11.4.22 (vídeo) – Transformações lineares (iv): a matriz de uma transformação linear (conclusão). Recapitulando – definição da matriz de uma transformação linear num par de bases (no domínio e no contradomínio), correspondência entre operações algébricas sobre transformações lineares e operações algébricas sobre matrizes (resumo). O efeito de mudanças de base no domínio e no contradomínio de uma transformação linear sobre a sua matriz num par de bases: matrizes de mudança de base, o caso de bases ortonormais, transformações lineares ortogonais. A imagem e a imagem inversa de um subconjunto por uma transformação linear: definição, o caso de imagens inversas de conjuntos unitários, o caso de subespaços vetoriais. Núcleo e imagem de uma transformação linear, o Teorema do Núcleo e da Imagem (enunciado).
- Aula 16 – 4.4.22 (vídeo) – Transformações lineares (iii): a matriz de uma transformação linear (continuação). Recapitulando – determinação de uma transformação linear por seus valores numa base do domínio e expansão dos últimos numa base do contradomínio. Definição da matriz de uma transformação linear num par de bases (no domínio e no contradomínio). Correspondência entre operações algébricas sobre transformações lineares e operações algébricas sobre matrizes – operações vetoriais (soma e multiplicação escalar) pontuais, produto ( = composição) e inversão, transposição de matrizes e a adjunta de uma transformação linear.
- Aula 15 – 31.3.22 (vídeo) – Transformações lineares (ii): recapitulando – definição, axiomas e suas consequências, o espaço das transformações lineares entre dois espaços vetoriais, operações vetoriais pontuais. Operaçòes algébricas adicionais sobre transformações lineares: produto ( = composição) e inversão – linearidade e propriedades (associatividade, distributividade e bilinearidade) do produto de transformações lineares, falha de comutatividade do produto, linearidade da inversa de uma transformação linear. A matriz de uma transformação linear: determinação de uma transformação linear por seus valores numa base do domínio e expansão dos últimos numa base do contradomínio. Definição da matriz de uma transformação linear num par de bases (no domínio e no contradomínio).
- Aula 14 – 28.3.22 (vídeo) – Produtos escalares (iv): ortonormalização de bases e o algoritmo de Gram-Schmidt – exemplos. Transformações lineares: definição, axiomas e suas consequências. Exemplos de transformações lineares (zero, múltiplos da identidade, produto escalar com um vetor fixo, projeções ortogonais ao longo de um subespaço vetorial, integrais e derivadas). O espaço das transformações lineares entre dois espaços vetoriais: operações vetoriais pontuais.
- Aula 13 – 24.3.22 (vídeo) – Produtos escalares (iii): projeções ortogonais. Expansão e componentes de um vetor num (sub)espaço vetorial numa base ortonormal ou apenas ortogonal. Extensão da expansão de vetores num subespaço vetorial numa base ortogonal ao espaço ambiente = definição de projeção ortogonal ao longo do subespaço vetorial. Propriedades (linearidade, idempotência, imagem e ortogonalidade). Decomposição ortogonal de vetores ao longo de um subespaço vetorial, independência de projeções ortogonais com respeito à escolha de base. Caracterização geométrica da projeção ortogonal de um vetor ao longo de um subespaço vetorial como o vetor no subespaço mais próximo do vetor dado. Ortogonalização e ortonormalização de bases usando projeções ortogonais: o algoritmo de Gram-Schmidt.
- Aula 12 – 21.3.22 (vídeo) – Produtos escalares (ii): recapitulação – definição abstrata de produto escalar ( = produto interno) e suas consequências. A geometria do produto escalar: a desigualdade de Cauchy-Schwarz – enunciado, prova e consequências. Norma euclidiana e distância euclidiana – definição e propriedades, desigualdade triangular. Ângulo entre vetores – definição (lei dos cossenos) e interpretação geométrica (dependência linear, ortogonalidade).
- Aula 11 – 14.3.22 (vídeo) – Produtos escalares (i): motivação – o produto escalar canônico de
, axiomas de produto escalar. Definição abstrata de produto escalar ( = produto interno) e suas consequências. Exemplos – o produto escalar associado a uma base. Conjuntos ortogonais e ortonormais – definição, independência linear de conjuntos ortogonais, normalização de um conjunto ortogonal. Bases ortogonais e ortonormais – componentes, caracterização do produto escalar associado a uma base em termos de ortonormalidade.
- Aula 10 – 13.3.22 (reposição da aula de 9.3 – vídeo) – Bases e dimensão (iii): recapitulação – bases finitas de (sub)espaços vetoriais, invariância do número de vetores numa base do subespaço gerado), a dimensão de um espaço vetorial, espaços vetoriais de dimensão finita e infinita. Construção recursiva ( = por indução no número de vetores) de uma base finita, o caso de bases adaptadas a um subespaço vetorial. Aplicação: (in)dependência linear e somas diretas de subespaços vetoriais, princípio de inclusão-exclusão para a dimensão da soma de subespaços vetoriais.
- Aula 9 – 10.3.22 (vídeo) – Bases e dimensão (ii): recapitulação – bases de (sub)espaços vetoriais, propriedades de conjuntos linearmente (in)dependentes. Subconjuntos linearmente independentes com
vetores: dependência linear de
vetores quaisquer no subespaço gerado, construção recursiva, invariância do número de vetores numa base do subespaço gerado. A dimensão de um espaço vetorial, espaços vetoriais de dimensão finita e infinita – definição e exemplos.
- Aula 8 – 7.3.22 (vídeo) – (In)dependência linear, bases e dimensão: recapitulação – o subespaço (vetorial) gerado por ( = varredura linear de) um subconjunto de um espaço vetorial (definição, propriedade de subespaço vetorial, expressão das operações lineares em termos dos coeficientes de combinações lineares = coeficientes de combinações lineares como um “sistema de coordenadas linear” no subespaço gerado), (in)dependência linear de conjuntos e de listas finitas de vetores (definição e interpretação como (falta de) ambiguidade na escolha de “coordenadas lineares” no subespaço gerado), bases de (sub)espaços vetoriais. Exemplos de conjuntos linearmente (in)dependentes. Dimensão de um espaço vetorial.
- Aula 7 – 3.3.22 (vídeo) – Combinações lineares, (in)dependência linear e bases: recapitulação – somatória vetorial (definição recursiva, somatória ao longo de um conjunto finito e propriedades), combinações lineares (definição). O subespaço (vetorial) gerado por ( = varredura linear de) um subconjunto de um espaço vetorial: definição, propriedade de subespaço vetorial, expressão das operações lineares em termos dos coeficientes de combinações lineares ( = coeficientes de combinações lineares como um “sistema de coordenadas linear” no subespaço gerado). (In)dependência linear de conjuntos e de listas finitas de vetores: definição e interpretação como (falta de) ambiguidade na escolha de “coordenadas lineares” no subespaço gerado, conjuntos linearmente independentes como bases dos respectivos subespaços gerados.
- Aula 6 – 24.2.22 (vídeo) – Subespaços vetoriais (iii): recapitulação – definição e estrutura de espaço vetorial herdada do espaço vetorial ambiente. Exemplos de subespaços vetoriais (ii): subespaço trivial, conjuntos de soluções de sistemas lineares homogêneos, polinômios e funções deriváveis. Somatória vetorial: definição recursiva, somatória ao longo de um conjunto finito, propriedades. Combinações lineares: definição.
- Aula 5 – 23.2.22 (vídeo) – Subespaços vetoriais (ii): recapitulação – definição e estrutura de espaço vetorial herdada do espaço vetorial ambiente. Exemplos e construções de subespaços vetoriais (i): subespaço trivial, interseções e somas de subespaços vetoriais, quando uniões de subespaços vetoriais falham em ser subespaços vetoriais, conjuntos de soluções de sistemas lineares homogêneos.
- Aula 4 – 21.2.22 (vídeo) – Espaços vetoriais (reais): recapitulação – axiomas de espaço vetorial. Exemplos (2): espaços de funções a valores reais,
como caso particular; espaços de funções a valores num espaço vetorial; espaços de matrizes. Subespaços vetoriais: definição e estrutura de espaço vetorial herdada do espaço vetorial ambiente.
- Aula 3 – 17.2.22 (vídeo) – Espaços vetoriais (reais): definição e axiomas. Consequências simples dos axiomas, analogias e diferenças das operações vetoriais com a soma e o produto de escalares. Exemplos (1):
; espaços de funções a valores reais.
- Aula 2 – 16.2.22 (vídeo) – Operações vetoriais: origem geométrica (cont.). Espaços afins e função deslocamento: definição e propriedades. Definição da soma vetorial e derivação de suas propriedades (comutatividade, associatividade, elemento neutro e oposto). Escalares como fatores de escala para vetores de deslocamento e multiplicação escalar: o caso de escalares inteiros, propriedades (distributividade com respeito às somas escalar e vetorial, associatividade, elemento neutro). Escalares racionais: como definir multiplicação escalar? Interpretação geométrica. Espaços vetoriais (reais): definição e axiomas.
- Aula 1 – 14.2.22 (vídeo) – Informações sobre o funcionamento do curso. Motivação: o que são espaços vetoriais e qual a sua importância? Origem geométrica: vetores de deslocamento num espaço de pontos (espaço afim). Soma vetorial e seus axiomas.
Bibliografia
Listamos aqui os textos que seguiremos mais de perto.
- Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 2 (2a. edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume II – Second Edition. Wiley, 1969. Uma versão online gratuita dos dois volumes em inglês pode ser encontrada aqui).
- Notas de aula serão disponibilizadas aqui à medida que o conteúdo for apresentado.
(Observação: o link do livro disponibilizado acima parte de um servidor que, em princípio, oferece tais materiais legalmente. Se for comprovado que este não é o caso, os links serão retirados sem aviso prévio)
A lista abaixo indica textos suplementares que podem ser de utilidade para o aluno.
- Notas de aulas do Prof. Jerônimo C. Pellegrini (atualizadas periodicamente).
- Howard Anton, Chris Rorres, Álgebra Linear com Aplicações (décima edição). Bookman, 2012 (original em inglês: Linear Algebra with Applications – 9th Edition. Wiley, 2005).
- G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5a. edição). Wellesley Cambridge Press, 2016.
Recomendações e material didático suplementar
É recomendado que o aluno tenha cursado anteriormente a disciplina BCN0404 – Geometria Analítica. Ocasionalmente, conceitos básicos da disciplina BCN0402 – Funções de Uma Variável – e.g. cálculo de integrais simples – podem ser empregados em exemplos.
Estrutura das atividades da disciplina
As aulas terão um formato híbrido – serão disponibilizadas assincronamente três aulas por semana (menos o número de dias de feriado na semana em questão coincidindo com os dias do horário presencial) de acordo com a carga didática da disciplina, sendo que duas delas serão também transmitidas sincronamente nas seguintes datas e horários (exceto feriados – estes serão repostos no período de reposição seguindo o calendário acadêmico de 2021):
- Segundas-feiras, 19h00-21h00;
- Quintas-feiras, 19h00-21h00.
Reitero que a transmissão das aulas síncronas será gravada e disponibilizada posteriormente de maneira assíncrona. O link para a sala de reunião (Google Meet) onde cada aula será transmitida será divulgado por email e pelo Moodle com no máximo 30 minutos de antecedência por razões de segurança. A entrada nas salas de reunião só será permitida mediante o uso da conta Google vinculada ao email institucional da UFABC, para fins de segurança e controle da participação dos alunos. Para realizar o vinculamento, recomendo seguir o tutorial do NTI para o procedimento.
As datas e horários acima foram escolhidas em função dos horários presenciais de cada turma – notar que o horário das segundas-feiras corresponde ao da turma B2, enquanto que o horário das quintas-feiras corresponde ao da turma A2. O objetivo das aulas síncronas é permitir (dentro das limitações da internet de cada aluno e do docente) uma maior participação dos alunos. Os links para os vídeos correspondentes a cada aula serão disponibilizados na lista de aulas acima.
Avaliação
A avaliação consistirá em dois tipos de atividades:
- Duas provas (P1, P2) a serem aplicadas na plataforma Moodle, no seguinte formato: haverá uma janela temporal de 72 horas para a prova ser feita. Uma vez iniciada dentro desse período, o aluno terá até 3 horas para enviar a resolução (período suficiente para lidar com eventuais dificuldades no envio) ou até que a janela temporal se encerre (o que ocorrer primeiro).
- Envio de resoluções de seleções de exercícios para cada uma das listas de exercícios (ver a seção “Listas de exercícios” abaixo para mais detalhes). As resoluções correspondentes a cada lista deverão também ser enviadas pelo Moodle dentro de uma janela temporal de 72 horas.
Haverá uma prova de recuperação a ser agendada para o início do segundo quadrimestre letivo de 2021, no mesmo formato que a P1 e a P2 mas que cobrirá o conteúdo do curso inteiro.
Média preliminar: Mp = 0,25*(P1+P2) + 0,5*Ml , onde Ml é a média simples das resoluções das listas de exercícios.
Média final: Mf = 0,25*max(P1+P2 ,Rec+P1, Rec+P2) + 0,5*Ml
Critério de conversão de média preliminar (Mp) / final (Mf) para conceito preliminar (Cp) / final (Cf):
Cp (resp. Cf) = F – Mp (resp. Mf) < 4,5;
Cp (resp. Cf) = D – Mp (resp. Mf) = 4,5-5,2;
Cp (resp. Cf) = C – Mp (resp. Mf) = 5,3-6,9;
Cp (resp. Cf) = B – Mp (resp. Mf) = 7,0-8,4;
Cp (resp. Cf) = A – Mp (resp. Mf) = 8,5-10,0.
Sugestões de ferramentas gratuitas para digitalização de documentos em formato PDF usando a câmera de smartphones:
- Adobe Scan (Android, iOS);
- vFlat (somente para Android);
- Microsoft Office Lens (Android, iOS);
- Google Drive (ferramenta de digitalização integrada à nuvem da Google – aviso: esse recurso é mais limitado que o dos apps dedicados listados acima! Somente para Android).
Janelas das provas:
- P1 – 00h00 de terça-feira, 5.4 às 23h59 de quinta-feira, 7.4;
- P2 – 00h00 de terça-feira, 10.5 às 23h59 de quinta-feira, 12.5;
- Sub – 00h00 de terça-feira, 17.5 às 23h59 de quarta-feira, 19.5 (acessível apenas a alunos que apresentarem justificativa formal por escrito para a ausência na P1 ou P2);
- Rec – a ser agendada no início do segundo quadrimestre letivo de 2022.
Observo que, durante as janelas das provas, não haverá transmissão ou gravação de aulas, tampouco plantões de dúvidas por videoconferência. Nesse período, dúvidas poderão ser postadas no fórum de dúvidas do Moodle ou por email.
Janelas de envio de resoluções das listas de exercícios:
- Listas 1 e 2 – 00h00 de sexta-feira, 18.3 às 23h59 de domingo, 20.3;
- Listas 3 e 4 – 00h00 de sexta-feira, 1.4 às 23h59 de domingo, 3.4;
- Listas 5 e 6 – 00h00 de sexta-feira, 22.4 às 23h59 de domingo, 24.4;
- Listas 7 e 8 – 00h00 de sexta-feira, 6.5 às 23h59 de domingo, 8.5.
Durante cada janela de envio de resoluções de listas de exercícios, será aberta uma tarefa no Moodle com essa finalidade. Os detalhes sobre o envio das resoluções e as seleções de exercícios a serem resolvidos serão divulgados no início de cada janela.
Listas de exercícios
É extremamente importante que os alunos façam todas as listas, de preferência à medida que a matéria vai sendo dada, para consolidar o aprendizado do conteúdo e ver quais dúvidas aparecem. Não deixe suas dúvidas se acumularem! Pergunte!
Monitoria, atendimento online e plantão de dúvidas
Haverá um plantão de dúvidas em videoconferência às terças-feiras das 18h00 às 21h00, usando a plataforma Google Meet, tal como a transmissão síncrona das aulas.
O plantão terá início em 15.2 – por razões de segurança, o link para a sala de reunião será divulgado por email e pelo Moodle no máximo 30 minutos antes do início de cada reunião.
Tal como na transmissão síncrona das aulas, a entrada nas salas de reunião dos plantões só será permitida mediante o uso da conta Google vinculada ao email institucional da UFABC, para fins de controle da participação dos alunos.Plantões de monitoria: a divulgar.
Controle de frequência
A frequência será controlada mediante a participação nas aulas síncronas e nos plantões de dúvidas, bem como pela entrega das resoluções das seleções de exercícios das listas. A contabilização de presença nas transmissões síncronas das aulas será semanal – basta que o aluno compareça a uma aula síncrona da semana para que sua presença nas aulas daquela semana seja computada. Observo que, em virtude do caráter remoto das aulas, o controle de frequência não será usado para fins de reprovação por falta.
Roteiro
Seguiremos de maneira aproximada o cronograma sugerido para o curso de AlgLin pelo Gradmat, com algumas modificações na ordem e na ênfase – para uma descrição mais detalhada dos tópicos de cada aula, confira a lista das aulas acima. Uma descrição sucinta dos tópicos do curso na ordem a ser seguida pode ser vista abaixo.
- Espaços vetoriais: motivação, definição e exemplos (Anton-Rorres: seção 5.1; Apostol: seções 1.1 a 1.5; notas do Pellegrini: seção 1.4).
- Subespaços vetoriais: definição e exemplos (Anton-Rorres: seção 5.2; Apostol: seção 1.6; notas do Pellegrini: seção 1.5).
- Combinações lineares, dependência linear e independência linear. Subespaços vetoriais gerados por um conjunto de vetores (Anton-Rorres: seções 5.2 e 5.3; Apostol: seções 1.6 e 1.7; notas do Pellegrini: seção 2.1).
- Bases e dimensão de um (sub)espaço vetorial, componentes de um vetor numa base. Mudança de base (Anton-Rorres: seção 5.4; Apostol: seções 1.8 a 1.10; notas do Pellegrini: seções 2.2 e 2.4).
- Produtos escalares: definição e propriedades. Geometria do produto escalar: a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
- Projeções ortogonais, bases ortogonais e ortonormais. Ortonormalização de Gram-Schmidt.
- Transformações lineares: definição e exemplos. A adjunta de uma transformação linear com respeito a um produto escalar.
- A matriz de uma transformação linear numa base. O efeito da mudança de base na matriz de uma transformação linear, matrizes de mudança de base.
- Núcleo e imagem de uma transformação linear. Posto e nulidade.
- Sistemas lineares, transformações lineares e matrizes. Operações elementares e escalonamento de matrizes: algoritmos de eliminação Gaussiana e de Gauss-Jordan.
- O determinante de uma transformação linear e de uma matriz.
- Autovalores e autovetores: definição e interpretação geométrica. O polinômio característico.
- Bases de autovetores e diagonalização de transformações lineares.
- Tópicos suplementares (a serem administrados ao longo do curso se houver tempo): a pseudoinversa de uma transformação linear e decomposição em valores singulares, aplicações (regressão linear, análise de componentes principais).